Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução?
r x+2 y-3 z=a 2 x+6 y-11 z=b x+2 y+7 z=c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + 2y - 3z = a, 2x + 6y - 11z = b, x + 2y + 7z = c,
e pergunta por qual relação entre a,b,c ele é compatível (tem pelo menos uma solução). O conteúdo envolvido é a condição de compatibilidade de um sistema via o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial , onde
Um fato básico de álgebra linear diz que, se , então e o sistema tem sempre exatamente uma solução para qualquer vetor .

Passo 3

Vamos calcular det(A):
det(A) = 1 & 2 & -3 2 & 6 & -11 1 & 2 & 7 =1cdot(6cdot7-(-11)cdot2) -2cdot(2cdot7-(-11)cdot1) -3cdot(2cdot2-6cdot1)
Calculando cada parte:
6cdot7-(-11)cdot2=42+22=64, 2cdot7-(-11)cdot1=14+11=25, 2cdot2-6cdot1=4-6=-2
Logo
det(A)=1cdot64 -2cdot25 -3cdot(-2)=64-50+6=20neq0

Passo 4

Como det(A)=20neq0, a matriz dos coeficientes é inversível e o sistema é compatível (na verdade determinado) para quaisquer valores de a, b e c. Não existe, portanto, nenhuma relação adicional entre a,b,c para garantir solução.

Resposta

Não há nenhuma restrição: o sistema tem solução para todos os valores reais de a, b e c.

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