Qual é a relação que e devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x + 2y - 3z = a, 2x + 6y - 11z = b, x + 2y + 7z = c,
e pergunta por qual relação entre a,b,c ele é compatível (tem pelo menos uma solução). O conteúdo envolvido é a condição de compatibilidade de um sistema via o determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial , onde
Um fato básico de álgebra linear diz que, se , então e o sistema tem sempre exatamente uma solução para qualquer vetor .
Como det(A)=20neq0, a matriz dos coeficientes é inversível e o sistema é compatível (na verdade determinado) para quaisquer valores de a, b e c. Não existe, portanto, nenhuma relação adicional entre a,b,c para garantir solução.
Resposta
Não há nenhuma restrição: o sistema tem solução para todos os valores reais de a, b e c.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 404