Responda:
a) O que aconteceria com o desvio médio se fossem retirados os módulos da definição?
b) Sejam x1, x2, ldots, xn um conjunto de valores assumidos por uma variável. Mostre que a expressão do desvio médio e da variância coincidem quando todos os valores são iguais ou se |xi-barx|=1, forall i in1,2, ldots, n.

Passo 1

O enunciado nos pede dois pontos sobre dispersão dos dados. Primeiro, entender o que ocorreria com o desvio médio se a gente retirasse os módulos da definição. Segundo, mostrar que o desvio médio e a variância coincidem em dois casos especiais: quando todos os valores são iguais ou quando |xi-bar x|=1 para todo i. Vamos usar as definições
Desvio médio: DM=1nsumi=1^nl|xi-bar xr|, Variância: sigma^2=1nsumi=1^nl(xi-bar xr)^2 éâ

Passo 2

Lembramos de um fato fundamental sobre a média:
sumi=1^nl(xi-bar xr)=0
Se definíssemos um “desvio médio sem módulo” como
DM'=1nsumi=1^nl(xi-bar xr),
então basta aplicar essa soma.

Passo 3

Como sumi=1^n(xi-bar x)=0, segue que
DM'=1ncdot 0=0
Ou seja, retirar o módulo faria o desvio médio ser sempre zero, perdendo totalmente a informação sobre dispersão.

Passo 4

Agora parte (b). Primeiro caso: todos os valores são iguais, digamos xi=bar x para todo i. Então
l|xi-bar xr|=0 Longrightarrow DM=1nsumi=1^n0=0,
e
(xi-bar x)^2=0 Longrightarrow sigma^2=1nsumi=1^n0=0
Logo DM=sigma^2=0.

Passo 5

Segundo caso: suponha que para todo i valha l|xi-bar xr|=1. Então
DM=1nsumi=1^n1=1,
e como (xi-bar x)^2=1^2=1 também
sigma^2=1nsumi=1^n1=1
Portanto, de novo DM=sigma^2=1.

Resposta

a) Se retirássemos os módulos do desvio médio ele ficaria sempre zero.
b) Nos dois casos especiais (todos os xi iguais ou l|xi-bar xr|=1 para todo i) obtemos
DM=sigma^2,
conforme demonstrado.

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