Um restaurante “a quilo” vende 100 kg de comida por dia, a R$ 12,00 o quilo. Uma pesquisa revelou que, para cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita?

Passo 1

O restaurante vende atualmente 100 kg de comida por dia a \text{R\$}12,00 o quilo. Cada cliente come em média 0,5 kg, então o número de clientes é dado por dividir a quantidade total pela média por cliente. A pesquisa diz que, para cada aumento de \text{R\$}1,00 no preço, perdem-se 10 clientes. Vamos modelar a receita como função do incremento no preço e encontrar seu ponto máximo usando a teoria de maximização de funções quadráticas (vértice de parábola).

Passo 2

Calcule o número atual de clientes por dia. Como consomem 0,5 kg cada e vendem-se 100 kg, o número inicial de clientes é
C(0)=\frac{100}{0,5}=200.

Passo 3

Definimos x como o número de reais de aumento no preço. Então:
— Preço por quilo:
p(x)=12 + x.
— Número de clientes:
C(x)=200 - 10x.
— Quantidade total vendida em kg: cada cliente consome 0,5 kg, logo
Q(x)=0,5\,C(x)=0,5\,(200 - 10x)=100 - 5x.

Passo 4

A receita diária R(x) é preço vezes quantidade:
R(x)=p(x)\,Q(x)=(12 + x)(100 - 5x).
Expandindo, obtemos
R(x)=-5x^{2}+40x+1200.

Passo 5

Para maximizar R(x), usamos que o vértice da parábola ax^{2}+bx+c ocorre em
x^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2\cdot(-5)}=4.
Verificamos x^* está no domínio [0,20] (pois Q(x)\ge0 implica x\le20), logo é o ponto de máximo.

Passo 6

O aumento ideal é de \text{R\$}4,00, então o preço por quilo que maximiza a receita é
12+4=16.

Resposta

O preço deve ser \text{R\$}16,00 por quilo para obter a maior receita diária.

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