Um restaurante “a quilo” vende 100 kg de comida por dia, a R$ 12,00 o quilo. Uma pesquisa revelou que, para cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita?
Passo 1
O restaurante vende atualmente
kg de comida por dia a
o quilo. Cada cliente come em média
kg, então o número de clientes é dado por dividir a quantidade total pela média por cliente. A pesquisa diz que, para cada aumento de
no preço, perdem-se
clientes. Vamos modelar a receita como função do incremento no preço e encontrar seu ponto máximo usando a teoria de maximização de funções quadráticas (vértice de parábola).
Passo 2
Calcule o número atual de clientes por dia. Como consomem
kg cada e vendem-se
kg, o número inicial de clientes é
Passo 3
Definimos
como o número de reais de aumento no preço. Então:
— Preço por quilo:
— Preço por quilo:
— Número de clientes:
— Quantidade total vendida em kg: cada cliente consome
kg, logo
Passo 4
A receita diária
é preço vezes quantidade:
Expandindo, obtemos
Passo 5
Para maximizar
, usamos que o vértice da parábola
ocorre em
Verificamos
está no domínio
(pois
implica
), logo é o ponto de máximo.
Passo 6
O aumento ideal é de
, então o preço por quilo que maximiza a receita é
Resposta
O preço deve ser
por quilo para obter a maior receita diária.