Se a reta y=m x+b é tangente à circunferência x^2+y^2=r^2, ache uma equação que relacione m, b e r.

Passo 1

O enunciado dá a reta ;y = m x + b; e a circunferência ;x^2 + y^2 = r^2. Para que a reta seja tangente à circunferência, o sistema formado por essas duas equações deve ter exatamente uma solução em x, ou seja, a equação resultante em x deve ser um polinômio de segundo grau com discriminante zero.

Passo 2

Substituímos ;y = m x + b; na equação da circunferência:
x^2 + (m x + b)^2 = r^2

Passo 3

Expandindo e coletando termos em x, obtemos a equação quadrática
(1 + m^2),x^2 + 2,b,m,x + l(b^2 - r^2r) = 0

Passo 4

Para tangência, o discriminante dessa equação deve ser zero:
De<a = (2,b,m)^2 - 4,(1 + m^2),(b^2 - r^2) = 0
Dividindo por 4 e simplificando:
b^2m^2 - (1 + m^2)(b^2 - r^2) = 0 ;Longrightarrow; -r^2 + r^2m^2 + b^2m^2 - b^2m^2 - b^2 = 0 ;Longrightarrow; (1 + m^2),r^2 - b^2 = 0

Passo 5

Isolando b^2, chega-se à relação de tangência:
b^2 = r^2,(1 + m^2)

Resposta

b^2 = r^2,l(1 + m^2r)

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