Um rombo é um paralelogramo com ângulo oblíquo com todos os quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para mostrar que as diagonais de um rombo são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num rombo, as diagonais são perpendiculares usando produto escalar. O conteúdo aqui é geometria vetorial: representamos os lados por vetores e usamos a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar é zero.

Passo 2

Seja o rombo definido pelos vetores de seus lados a e b a partir de um vértice. Num rombo, todos os lados têm o mesmo comprimento, logo
|a| = |b|
As diagonais partindo desse mesmo vértice são os vetores
d1 = a + b, d2 = a - b

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre d1 e d2:
d1 cdot d2 = (a + b) cdot (a - b) = acdota ;-;acdotb ;+;bcdota;-;bcdotb
Como o produto escalar é comutativo, acdotb=bcdota, então os termos mistos se cancelam:
d1 cdot d2 = |a|^2 - |b|^2
Mas num rombo |a|^2=|b|^2, logo
d1 cdot d2 = 0

Passo 4

Como o produto escalar entre d1 e d2 é zero, concluímos que as diagonais são perpendiculares.

Resposta

As diagonais de um rombo são perpendiculares porque seu produto escalar é zero.

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