Um rombo é um paralelogramo com ângulo oblíquo com todos os quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para mostrar que as diagonais de um rombo são perpendiculares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, num rombo, as diagonais são perpendiculares usando produto escalar. O conteúdo aqui é geometria vetorial: representamos os lados por vetores e usamos a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar é zero.
Passo 2
Seja o rombo definido pelos vetores de seus lados
e
a partir de um vértice. Num rombo, todos os lados têm o mesmo comprimento, logo
As diagonais partindo desse mesmo vértice são os vetores
Passo 3
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é comutativo,
, então os termos mistos se cancelam:
Mas num rombo
, logo
Passo 4
Como o produto escalar entre
e
é zero, concluímos que as diagonais são perpendiculares.
Resposta
As diagonais de um rombo são perpendiculares porque seu produto escalar é zero.