(UF-PR) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A=(-2,0) e P=(0,1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q=(4,2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:
a) 3(3+raiz5)
b) 3(5+raiz3)
c) 5(3+raiz5)
d) 3(3+raiz3)

Passo 1

O enunciado trata de duas retas no plano: a reta r definida pelos pontos A=(-2,0) e P=(0,1) e a reta s paralela ao eixo y que passa por Q=(4,2). Precisamos:
  1. Determinar as equações de r e s.
  2. Encontrar os pontos de interseção B (reta s com o eixo x) e C (interseção de r com s).
  3. Calcular os comprimentos dos lados do triângulo ABC usando a fórmula da distância entre dois pontos.
  4. Somar esses comprimentos para obter o perímetro.

Passo 2

Para achar a equação de r usamos a forma dois-pontos. A inclinação é
m = 1-00-(-2) = 12
Logo, a equação em forma reduzida é
y = 12 x + b
Como passa por P=(0,1), temos 1 = tfrac12cdot0 + b, ou seja b=1. Então
y = 12 x + 1

Passo 3

A reta s é paralela ao eixo das ordenadas, portanto é vertical do tipo x = k. Como passa por Q=(4,2), temos
x = 4

Passo 4

O ponto B é a interseção de s com o eixo das abscissas ( y=0). Substituindo em x=4 e y=0 obtém-se
B = (4,0)

Passo 5

O ponto C é a interseção de r com s. Em x=4 na reta r:
y = 12cdot4 + 1 = 2 + 1 = 3
Logo
C = (4,3)

Passo 6

Calculamos os comprimentos dos lados de ABC:
AB = raiz(4-(-2))^2 + (0-0)^2 = raiz6^2 = 6,
BC = raiz(4-4)^2 + (3-0)^2 = raiz3^2 = 3,
AC = raiz(4-(-2))^2 + (3-0)^2 = raiz6^2 + 3^2 = raiz36+9 = raiz45 = 3raiz5

Passo 7

O perímetro é a soma dos três lados:
P = AB + BC + AC = 6 + 3 + 3raiz5 = 9 + 3raiz5 = 3l(3 + raiz5r)

Resposta

a) 3(3+raiz5)

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