Sabendo que
F(x, y, z)=x^216+y^24+z^29
obtenha os pontos de interseção x, y e z da superfície de nível que passam por (-4,2,-3).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de nível
F(x,y,z)=x^216+y^24+z^29=c
que passa pelo ponto (-4,2,-3). Precisamos obter os pontos de interseção com os eixos x, y e z do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Vamos usar o gradiente para achar o plano tangente e, em seguida, calcular seus três interceptos.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor do nível c avaliando F em (-4,2,-3):
c = F(-4,2,-3) = (-4)^216+2^24+(-3)^29 = 1616 + 44 + 99 = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Agora calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =l(x8,,y2,,2z9r)
Em seguida, avaliamos em (-4,2,-3):
nabla F(-4,2,-3) =l(-48,,22,,2cdot(-3)9r) =l(-tfrac12,,1,,-tfrac23r)

Passo 4

A equação do plano tangente em P0=(-4,2,-3) é
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-( -4,2,-3)r)=0
Substituindo nabla F(P0)=(-tfrac12,1,-tfrac23) e desenvolvendo:
-tfrac12(x+4) + 1,(y-2) - tfrac23(z+3) = 0
Multiplicando ambos os lados por 6 para limpar frações:
-3(x+4) + 6(y-2) - 4(z+3) = 0 ;Longrightarrow; -3x -12 +6y -12 -4z -12 = 0 ;Longrightarrow; 3x -6y +4z +36 = 0

Passo 5

Para achar os interceptos do plano com os eixos, imponha dois coordenadas nulas de cada vez:
  1. Intercepto em x: y=0, z=0 em 3x+36=0
    x=-12Longrightarrow(-12,0,0)
  2. Intercepto em y: x=0, z=0 em -6y+36=0
    y=6Longrightarrow(0,6,0)
  3. Intercepto em z: x=0, y=0 em 4z+36=0
    z=-9Longrightarrow(0,0,-9)

Resposta

Os interceptos do plano tangente são
(-12,0,0),(0,6,0),(0,0,-9)

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