Sabendo que cot (theta)=4 e que theta está no 3^circ quadrante, determine os valores de sen(theta) e cos (theta).

Passo 1

O enunciado nos diz que cot(theta)=4 e que theta está no terceiro quadrante, onde tanto o seno quanto o cosseno são negativos. Vamos usar a definição de cotangente em termos de lados de um triângulo retângulo e depois ajustar os sinais de acordo com o quadrante para encontrar sin(theta) e cos(theta).

Passo 2

Pela definição trigonométrica,
cot(theta)=cos(theta)sin(theta)=cateto adjacentecateto oposto
Como cot(theta)=4, podemos escolher, numa figura auxiliar, o cateto adjacente medindo 4 e o cateto oposto medindo 1, até um fator de escala.

Passo 3

No terceiro quadrante, temos cos(theta)<0 e sin(theta)<0. Logo, nos nossos catetos tomamos
x=-4, y=-1,
onde x representa o cateto adjacente (projeção no eixo x) e y o cateto oposto (projeção no eixo y).

Passo 4

Calculamos a hipotenusa r com o Teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2 = raiz(-4)^2 + (-1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17

Passo 5

Agora obtemos
sin(theta)=yr = -1raiz17, cos(theta)=xr = -4raiz17

Resposta

sin(theta)=-1raiz17, cos(theta)=-4raiz17

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