Sabendo que csc (theta)=3 e que cos (theta)<0, determine o valor de tan (theta).

Passo 1

O enunciado diz que csc(theta)=3 e que cos(theta)<0. Queremos encontrar tan(theta). Para isso vamos usar:
  • A definição csc(theta)=tfrac1sin(theta).
  • A identidade pitagórica sin^2(theta)+cos^2(theta)=1.
  • A definição tan(theta)=tfracsin(theta)cos(theta).
  • O sinal de cos(theta) para escolher o quadrante certo.

Passo 2

Da definição de cosecante temos
csc(theta)=3
portanto
sin(theta)=1csc(theta)=13

Passo 3

Usando a identidade pitagórica,
cos^2(theta)=1-sin^2(theta) =1-l(13r)^2 =1-19 =89
Logo
cos(theta)=pmraiz83 =pm2raiz23
Como o enunciado diz que cos(theta)<0, ficamos com
cos(theta)=-2raiz23

Passo 4

Agora calculamos a tangente:
tan(theta)=sin(theta)cos(theta) =tfrac13-tfrac2raiz23 =1-2raiz2 =-12raiz2
Racionalizando o denominador,
-12raiz2cdotraiz2raiz2 =-raiz24

Resposta

tan(theta)=-raiz24

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