Sabendo que o quarto termo do desenvolvimento de (2 x-3 y)^n é -1080 x^2 y^3, calcule o terceiro termo desse desenvolvimento.

Passo 1

O enunciado diz que o quarto termo do desenvolvimento de (2x-3y)^n é -1080,x^2y^3, e pede o terceiro termo desse mesmo desenvolvimento.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio de Newton: o termo de ordem r em (a+b)^n é
Tr = binomnr-1,a^,n-(r-1),b^,r-1
Vamos usar essa fórmula para achar primeiro n a partir do quarto termo e, em seguida, calcular o terceiro termo.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao quarto termo ( r=4) em (2x + (-3y))^n, temos
T4 = binomn3,(2x)^,n-3,(-3y)^3 = binomn3,2^,n-3,(-3)^3;x^,n-3,y^3

Passo 3

Como T4 = -1080,x^2y^3, igualamos expoentes e coeficiente:
1. Expoente de x: n-3 = 2 Rightarrow n = 5.
2. Coeficiente:
binom53,2^5-3,(-3)^3 = 10 times 2^2 times (-27) = 10 times 4 times (-27) = -1080,
que confere com o dado. Portanto, n=5.

Passo 4

Agora calculamos o terceiro termo ( r=3) com n=5:
T3 = binom52,(2x)^,5-2,(-3y)^2 = binom52,2^3,(-3)^2;x^3,y^2
Calculando o coeficiente:
binom52=10, 2^3=8, (-3)^2=9 Longrightarrow 10times8times9 = 720
Logo,
T3 = 720,x^3y^2

Resposta

O terceiro termo do desenvolvimento é 720,x^3y^2.

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