Sabendo que x=1 e x=-2 são zeros de f(x)=x^4+4 x^3+9 x^2+2 x-16,
a) determine todos os zeros da função.
b) escreva f(x) na forma fatorada.
c) resolva a inequação f(x) <= 0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^4+4x^3+9x^2+2x-16
e informa que x=1 e x=-2 são zeros de f. Pede:
a) determinar todos os zeros de f;
b) escrever f(x) na forma fatorada;
c) resolver a inequação f(x)<= 0.
Usaremos divisão sintética (Briot–Ruffini), cálculo de discriminante e análise de sinais.

Passo 2

Dividimos por via sintética com raiz . Coeficientes de : .
Aplicando Ruffini:

O quociente é e o resto é zero, logo

Passo 3

Agora dividimos o quociente por via sintética com raiz . Coeficientes: .

O novo quociente é e o resto é zero, logo

Passo 4

Para encontrar os zeros da parte quadrática ,x^2+3x+8, calculamos o discriminante:
De<a = 3^2-4cdot1cdot8 = 9-32 = -23 < 0
Como De<a<0, não há raízes reais. As raízes complexas são
x = -3pm iraiz232

Passo 5

Assim, todos os zeros de f são
x=1, x=-2, x=-3 + iraiz232, x=-3 - iraiz232,
e a fatoração completa é
f(x)=(x-1)(x+2)l(x^2+3x+8r)

Passo 6

Para resolver ;f(x)<=0, notamos que x^2+3x+8>0 para todo xinR. Então o sinal de f(x) coincide com o de (x-1)(x+2). O produto (x-1)(x+2)<=0 exatamente quando x está entre as raízes -2 e 1. Logo
f(x)<=0Long<=ftrightarrow -2 <= x <= 1

Resposta

a) Os zeros são
1,;-2,;-3 + iraiz232,;-3 - iraiz232
b)
f(x)=(x-1)(x+2)(x^2+3x+8)
c)
,xinRmid f(x)<=0 = [-2,,1]

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