Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
4 x^3-16 x^2+21 x-9=0, sabendo que x=1 é uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede as raízes de 4x^3 -16x^2 +21x -9=0, sabendo que x=1 é raiz. O conteúdo usado será o Teorema do Fator (que diz que, se a é raiz, então x-a é fator) e divisão sintética para obter o fator quadrático.

Passo 2

Fazemos divisão sintética de 4x^3 -16x^2 +21x -9 por x-1. Coeficientes: 4,,-16,,21,,-9.
Trazemos 4 para baixo, multiplicamos por 1 e somamos a -16, obtendo -12. Multiplicamos -12 por 1 e somamos a 21, obtendo 9. Multiplicamos 9 por 1 e somamos a -9, obtendo 0.
Logo, o quociente é 4x^2 -12x +9.

Passo 3

Com isso, escrevemos a fatoração inicial:
4x^3 -16x^2 +21x -9 = (x-1),(4x^2 -12x +9)

Passo 4

Reconhecemos que o trinômio 4x^2 -12x +9 é um quadrado perfeito, pois
4x^2 -12x +9 = (2x-3)^2
Assim, a fatoração completa é
4x^3 -16x^2 +21x -9 = (x-1),(2x-3)^2

Passo 5

Para achar as raízes, igualamos cada fator a zero:
x-1=0 implies x=1,
2x-3=0 implies x=tfrac32
(esta última com multiplicidade 2).

Resposta

As raízes são x=1 e x=tfrac32 (multiplicidade 2), e a fatoração é
4x^3 -16x^2 +21x -9 = (x-1),(2x-3)^2

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