Sabendo que x=4 é uma raiz da equação x^4-3 x^3-10 x^2+24 x=0,
a) determine todas as raízes da equação;
b) escreva o polinômio x^4-3 x^3-10 x^2+24 x na forma fatorada;
c) resolva a inequação x^4-3 x^3-10 x^2+24 x >= 0.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^4-3x^3-10x^2+24x
e informa que x=4 é raiz. Precisamos:
– (a) determinar todas as raízes de f(x)=0;
– (b) escrever f(x) na forma fatorada;
– (c) resolver a inequação f(x)>=0.
Vamos usar o Teorema do Resto (ou Factor Theorem) para fatorar e depois analisar o sinal no eixo real.

Passo 2

Como é raiz, é divisível por . Fazendo a divisão de
por (síntese ou algoritmo), obtemos quociente e resto:
Logo,

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio de grau 3:
x^3+x^2-6x = x,(x^2+x-6)
E a parte quadrática fatora-se em
x^2+x-6=(x+3)(x-2)
Assim, a fatoração completa é
f(x)=(x-4),x,(x+3),(x-2)
Dessas quatro parcelas, concluímos que as raízes são
x=4,;x=0,;x=-3,;x=2

Passo 4

Com a fatoração em mãos, respondemos:
(a) as raízes de f(x)=0 são
x=-3,;0,;2,;4
(b) a forma fatorada de f é
f(x)=x,(x+3),(x-2),(x-4)

Passo 5

Para resolver f(x)>=0, analisamos o sinal de cada fator. As raízes em ordem crescente são
-3,;0,;2,;4,
todas de multiplicidade 1, de modo que o sinal de f alterna em cada raiz. Como o coeficiente líder é positivo, f(x)>0 em
(-infty,-3),;(0,2),;(4,infty),
e f(x)=0 exatamente nos pontos -3,0,2,4. Logo,
f(x)>=0Long<=ftrightarrow (-infty,-3]cup[0,2]cup[4,infty)

Resposta

(a) x=-3,,0,,2,,4.
(b) f(x)=x,(x+3),(x-2),(x-4).
(c) ;xin(-infty,-3]cup[0,2]cup[4,infty)

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