Sabendo que
é uma raiz da equação
,
a) determine todas as raízes da equação;
b) escreva o polinômio
na forma fatorada;
c) resolva a inequação
.
a) determine todas as raízes da equação;
b) escreva o polinômio
c) resolva a inequação
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
é raiz. Precisamos:
– (a) determinar todas as raízes de ;
– (b) escrever na forma fatorada;
– (c) resolver a inequação .
Vamos usar o Teorema do Resto (ou Factor Theorem) para fatorar e depois analisar o sinal no eixo real.
– (a) determinar todas as raízes de
– (b) escrever
– (c) resolver a inequação
Vamos usar o Teorema do Resto (ou Factor Theorem) para fatorar e depois analisar o sinal no eixo real.
Passo 2
Como
é raiz,
é divisível por
. Fazendo a divisão de
por
(síntese ou algoritmo), obtemos quociente e resto:
Logo,
Passo 3
Agora fatoramos o polinômio de grau 3:
E a parte quadrática fatora-se em
Assim, a fatoração completa é
Dessas quatro parcelas, concluímos que as raízes são
Passo 4
Com a fatoração em mãos, respondemos:
(a) as raízes de são
(a) as raízes de
(b) a forma fatorada de
é
Passo 5
Para resolver
, analisamos o sinal de cada fator. As raízes em ordem crescente são
todas de multiplicidade 1, de modo que o sinal de
alterna em cada raiz. Como o coeficiente líder é positivo,
em
e
exatamente nos pontos
. Logo,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(b)
(c)