São dados os conjuntos:
A=(x, y) mid x^2+y^2-4 x+10 y <=-25
B=(x, y) mid 3 x+4 y <= k
a) Determine os valores de k para os quais A é um subconjunto de B.
b) Determine os valores de k para os quais A e B são disjuntos.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = (x,y)mid x^2+y^2-4x+10y <= -25
e o semi-plano
B = (x,y)mid 3x+4y <= k
Precisamos achar os valores de k tais que Asubset B e tais que Acap B=emptyset. Para isso, vamos reescrever A como um disco e analisar o comportamento da função linear f(x,y)=3x+4y sobre esse disco.

Passo 2

Completando quadrados em x^2-4x e y^2+10y, obtemos
x^2-4x=(x-2)^2-4, y^2+10y=(y+5)^2-25,
portanto
x^2+y^2-4x+10y=(x-2)^2+(y+5)^2-29
A condição
x^2+y^2-4x+10y<= -25
vira
(x-2)^2+(y+5)^2<= 4,
ou seja, A é o disco de centro C=(2,-5) e raio R=2.

Passo 3

Definimos
f(x,y)=3x+4y,
cujo gradiente é nabla f=(3,4) com norma |nabla f|=5. Pelos extremos em bolas,
maxAf = f(C) + R|nabla f|, minAf = f(C) - R|nabla f|
Como
f(C)=3cdot2+4cdot(-5)=-14,
segue
maxAf = -14 + 2cdot5 = -4, minAf = -14 - 2cdot5 = -24

Passo 4

Para Asubset B precisamos que
3x+4y<= kforall(x,y)in A,
ou seja
k>= maxA(3x+4y) = -4
Logo Asubset B se, e somente se, k>= -4.

Passo 5

Para Acap B=emptyset não pode existir (x,y)in A com 3x+4y<= k. Como minA(3x+4y)=-24, isso exige
k < -24
Portanto A e B são disjuntos se, e somente se, k< -24.

Resposta

a) k >= -4
b) k < -24

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