a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor superfície?
b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume?
b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume?
Passo 1
O enunciado pede dois problemas de otimização sobre um paralelepípedo retângulo de arestas
:
a) minimizar a superfície
a) minimizar a superfície
sujeito a volume fixo
b) maximizar o volume
sujeito a superfície fixa
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para cada caso.
Passo 2
Para o item (a), definimos a função de Lagrange
As condições críticas vêm de
além de
Passo 3
Das três equações
podemos dividir a primeira pela segunda e obter
Analogamente mostra-se
. Logo a solução crítica satisfaz
Usando
segue
Passo 4
Concluímos que, entre todos os paralelepípedos de volume fixo
, aquele de menor superfície é o cubo de aresta
Passo 5
Para o item (b), definimos a função de Lagrange
As condições críticas são
e
Passo 6
Das equações
vemos novamente que a única solução simétrica exige
Substituindo em
dá
Então o volume máximo é
Resposta
a) O paralelepípedo de menor superfície, para volume fixo
, é o cubo de aresta
.
b) O paralelepípedo de maior volume, para superfície fixa , é o cubo de aresta
, com volume
.
b) O paralelepípedo de maior volume, para superfície fixa