a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor superfície?
b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume?

Passo 1

O enunciado pede dois problemas de otimização sobre um paralelepípedo retângulo de arestas x,y,z>0:
a) minimizar a superfície
S=2(xy+yz+zx)
sujeito a volume fixo
V=xyzconstante,
b) maximizar o volume
V=xyz
sujeito a superfície fixa
S=2(xy+yz+zx)constante
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para cada caso.

Passo 2

Para o item (a), definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=2(xy+yz+zx);-;lambdal(xyz - Vr)
As condições críticas vêm de
partialLpartial x=2(y+z)-lambda,yz=0,
partialLpartial y=2(x+z)-lambda,xz=0,
partialLpartial z=2(x+y)-lambda,xy=0,
além de
xyz=V

Passo 3

Das três equações
2(y+z)=lambda,yz, 2(x+z)=lambda,xz, 2(x+y)=lambda,xy
podemos dividir a primeira pela segunda e obter
y+zx+z=yx;Longrightarrow;x=y
Analogamente mostra-se y=z. Logo a solução crítica satisfaz
x=y=z
Usando xyz=V segue
x^3=V Longrightarrow x=y=z=raiz[,3,]V

Passo 4

Concluímos que, entre todos os paralelepípedos de volume fixo V, aquele de menor superfície é o cubo de aresta
raiz[,3,]V

Passo 5

Para o item (b), definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,mu)=xyz;-;mul(2(xy+yz+zx)-Sr)
As condições críticas são
partialLpartial x=yz-2mu(y+z)=0,
partialLpartial y=xz-2mu(x+z)=0,
partialLpartial z=xy-2mu(x+y)=0,
e
2(xy+yz+zx)=S

Passo 6

Das equações
yz=2mu(y+z), xz=2mu(x+z), xy=2mu(x+y)
vemos novamente que a única solução simétrica exige
x=y=z
Substituindo em 2(xy+yz+zx)=S
2cdot3x^2=S Longrightarrow x=y=z=raizS6
Então o volume máximo é
V=x^3=l(raiztfracS6r)^3 =l(tfracS6r)^32

Resposta

a) O paralelepípedo de menor superfície, para volume fixo V, é o cubo de aresta
raiz[,3,]V.
b) O paralelepípedo de maior volume, para superfície fixa S, é o cubo de aresta
raiztfracS6, com volume l(S/6r)^3/2.

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