Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas estão na razão
. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 cm a medida da corda do arco gerador da menor calota.
Passo 1
O enunciado diz que um plano corta uma esfera em duas calotas esféricas cujas áreas estão na razão
. Além disso, a corda do arco gerador da calota menor mede
,cm, isto é, o segmento de reta que liga o vértice da calota até um ponto qualquer de sua circunferência de base tem comprimento
. Queremos calcular a área total da esfera. Para isso vamos usar:
- A fórmula da área de uma calota esférica de altura
numa esfera de raio :
- A relação entre altura da calota menor
e da maior dada pela razão das áreas. - A geometria do triângulo que une centro da esfera, vértice da calota e ponto na borda da calota, para relacionar
, e o comprimento da corda geradora.
Passo 2
Seja
a altura da calota menor e
a da calota maior. Das áreas:
Logo,
Passo 3
Considere o vértice
da calota (ponto mais alto na esfera) e um ponto
na circunferência de base da calota menor. O centro da esfera é
. Então
e a distância vertical do plano da base ao vértice é
, onde
. O triângulo
é retângulo em
se projetarmos
no eixo
. Assim a corda
satisfaz
Mas também podemos escrever
E ainda acrescentamos
para incluir a projeção direta (isto equivale a usar
bas
altur
no mesmo triângulo), o que simplifica em
Passo 4
Substituindo
em
dá
Como a corda geradora mede
,cm, temos
Passo 5
A área total da esfera de raio
é
Resposta
A superfície da esfera mede
,cm
.