Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas estão na razão 25. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 cm a medida da corda do arco gerador da menor calota.

Passo 1

O enunciado diz que um plano corta uma esfera em duas calotas esféricas cujas áreas estão na razão tfrac25. Além disso, a corda do arco gerador da calota menor mede 4,cm, isto é, o segmento de reta que liga o vértice da calota até um ponto qualquer de sua circunferência de base tem comprimento 4. Queremos calcular a área total da esfera. Para isso vamos usar:
  • A fórmula da área de uma calota esférica de altura h numa esfera de raio R:
Área da calota = 2pi R,h Á
  • A relação entre altura da calota menor h1 e da maior h2=2R-h1 dada pela razão das áreas.
  • A geometria do triângulo que une centro da esfera, vértice da calota e ponto na borda da calota, para relacionar R, h1 e o comprimento da corda geradora.

Passo 2

Seja h1 a altura da calota menor e h2 a da calota maior. Das áreas:
2pi R,h12pi R,h2 ;=;25 Longrightarrow h1h2=25, h2=2R-h1
Logo,
h12R-h1=25 ;Longrightarrow; 5h1=2(2R-h1)=4R-2h1 ;Longrightarrow; 7h1=4R ;Longrightarrow; h1=4R7

Passo 3

Considere o vértice V da calota (ponto mais alto na esfera) e um ponto P na circunferência de base da calota menor. O centro da esfera é O. Então OV=R e a distância vertical do plano da base ao vértice é h1=OV-OPz, onde OPz=R-h1. O triângulo OVP é retângulo em P se projetarmos P no eixo OV. Assim a corda VP satisfaz
VP^2 = OV^2 - OPz^2 = R^2 - (R-h1)^2
Mas também podemos escrever
R^2 - (R-h1)^2 = R^2 - l(R^2 -2Rh1 +h1^2r) =2R,h1 - h1^2
E ainda acrescentamos +h1^2 para incluir a projeção direta (isto equivale a usar VP^2 = bas e^2 + altur a^2 no mesmo triângulo), o que simplifica em
VP^2 = 2R,h1

Passo 4

Substituindo h1=tfrac4R7 em VP^2=2R,h1
VP^2 = 2Rcdot4R7 = 8R^27 Longrightarrow VP = raiz87,R
Como a corda geradora mede VP=4,cm, temos
raiz87,R = 4 Longrightarrow R = 4raiz78 = raiz14,cm

Passo 5

A área total da esfera de raio R é
4pi R^2 = 4pil(raiz14r)^2 = 4picdot14 = 56pi(cm^2)

Resposta

A superfície da esfera mede 56pi,cm ^2.

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