A seguinte tabela mostra qual é o tamanho médio, em alqueires, de terras cultivadas por pequenos donos de terras.
Ano 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Alq. 211 301 380 421 469 491
Suponha que existe uma correlação quadrática entre os dados.
(a) Determine a parábola que melhor se ajusta aos pontos.
(b) Utilizando (a), determine a possível quantidade de habitantes no ano 2010 e 2020.
(c) Suponha que também existe uma correlação linear entre os dados. Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos e compare os resultados obtidos em (b).

Passo 1

O enunciado dá o tamanho médio de terras y em alqueires nos anos 1950,1960,1970,1980,1990,2000 iguais a 211,301,380,421,469,491, respectivamente. Queremos:
  • (a) ajustar uma parábola por mínimos quadrados (correlação quadrática),
  • (b) usar essa parábola para prever y em 2010 e 2020,
  • (c) ajustar também uma reta por mínimos quadrados (correlação linear) e comparar as previsões.
    Conteúdo: regressão polinomial de grau 2 e de grau 1 pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Para simplificar escrevemos o ano como
t=Ano-195010,
de modo que t=0,1,2,3,4,5 correspondem a 1950,···, 2000 e os y são 211,301,380,421,469,491. Calculamos as somas necessárias:
n&=6, sum t&=15, sum t^2=55, sum t^3=225, sum t^4=979, sum y&=2273, sum t,y=6655, sum t^2,y=25389
As equações normais para y=A,t^2+B,t+C são
6C+15B+55A=2273, 15C+55B+225A=6655, 55C+225B+979A=25389

Passo 3

Resolvendo o sistema obtemos
A=-tfrac587, B=97, C=tfrac14867
Logo a parábola ajustada é
boxedy(t)=-587,t^2+97,t+14867,
onde t=(Ano-1950)/10.

Passo 4

Para 2010 e 2020 temos t2010=6 e t2020=7. Então
y(6)&=-tfrac587cdot36+97cdot6+tfrac14867 =-tfrac20887+582+tfrac14867=496, y(7)&=-tfrac587cdot49+97cdot7+tfrac14867 =-tfrac28427+679+tfrac14867approx485,29

Passo 5

Para a regressão linear y=m,t+b usamos as fórmulas
m=nsum t,y-(sum t)(sum y)nsum t^2-(sum t)^2, b=sum y-msum tn
Substituindo,
m=6cdot6655-15cdot22736cdot55-15^2approx56,5238, bapprox237,5238
Fica a reta
boxedy(t)=56,5238,t+237,5238

Passo 6

Usando a reta para t=6,7:
y(6)approx56,5238cdot6+237,5238approx576,67, y(7)approx56,5238cdot7+237,5238approx633,19
Comparação: a parábola prevê 496 e 485,3, enquanto a reta dá valores bem maiores ( 576,7 e 633,2), mostrando que a correlação quadrática cresce até 2000 e depois decresce, ao passo que a reta extrapola sempre para cima.

Resposta

(a) y(t)=-587t^2+97t+14867, com t=(Ano-1950)/10.
(b) Para 2010: y=496; para 2020: yapprox485,29.
(c) Reta y(t)=56,5238,t+237,5238; previsões 2010: 576,67, 2020: 633,19. A reta superestima em relação à parábola.

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