A seguinte tabela mostra qual é o tamanho médio, em alqueires, de terras cultivadas por pequenos donos de terras.
Ano
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Alq.
211
301
380
421
469
491
Suponha que existe uma correlação quadrática entre os dados.
(a) Determine a parábola que melhor se ajusta aos pontos.
(b) Utilizando (a), determine a possível quantidade de habitantes no ano 2010 e 2020.
(c) Suponha que também existe uma correlação linear entre os dados. Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos e compare os resultados obtidos em (b).
Passo 1
O enunciado dá o tamanho médio de terras em alqueires nos anos iguais a , respectivamente. Queremos:
(a) ajustar uma parábola por mínimos quadrados (correlação quadrática),
(b) usar essa parábola para prever em e ,
(c) ajustar também uma reta por mínimos quadrados (correlação linear) e comparar as previsões.
Conteúdo: regressão polinomial de grau e de grau pelo método dos mínimos quadrados.
Passo 2
Para simplificar escrevemos o ano como
de modo que correspondem a ,···, e os são . Calculamos as somas necessárias:
Comparação: a parábola prevê 496 e 485,3, enquanto a reta dá valores bem maiores (576,7 e 633,2), mostrando que a correlação quadrática cresce até 2000 e depois decresce, ao passo que a reta extrapola sempre para cima.
Resposta
(a) y(t)=-587t^2+97t+14867, com t=(Ano-1950)/10.
(b) Para 2010: y=496; para 2020: yapprox485,29.
(c) Reta y(t)=56,5238,t+237,5238; previsões 2010: 576,67, 2020: 633,19. A reta superestima em relação à parábola.
Cálculo - Maurício A. Vilches - Cálculo para Economia e Administração - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 3.18 - Ex. 33