O objetivo é encontrar f^-1 restringindo cada ramo a um intervalo onde ele é injetor. Para isso vamos: 1. Determinar o domínio e a imagem (range) de cada ramo. 2. Inverter a expressão em cada caso, escolhendo o sinal correto da raiz quadrada quando for o caso. 3. Reunir tudo num único piecewise para f^-1.
Passo 2
Ramo 1 (x>=2):
f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3
Como x>=2, (x-2)^2 varia em [0,infty), logo f(x) varia em [3,infty). Para inverter, seja y=(x-2)^2+3. Então
(x-2)^2=y-3, x-2=raizy-3(escolhemos o sinal + pois x>=2),
logo
x=2+raizy-3
Passo 3
Ramo 2 (-1<x<2):
f(x)=2x-1
Aqui o ramo é linear e vai de x=-1^+ até x=2^-, produzindo y em (-3,3). Invertendo diretamente
y=2x-1Longrightarrow x=y+12
Passo 4
Ramo 3 (x<=-1):
f(x)=-x^2-2x-4=-(x+1)^2-3
Como x<=-1, (x+1)^2in[0,infty) e f(x)in(-infty,-3]. Seja y=-(x+1)^2-3. Então
-(x+1)^2=y+3, (x+1)^2=-(y+3), x+1=-raiz-(y+3)
(escolhendo o sinal “–” pois x+1<=0). Logo
x=-1-raiz-(y+3)
Passo 5
Reunindo as três inversas, trocando y por x na expressão final, obtemos