Seja ABCD um quadrilátero inscritível onde
e
q. Considere que
é o raio da circunferência circunscrita. Demonstre que:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Estamos num quadrilátero cíclico
com
; e circunferência de raio
.
Queremos mostrar as fórmulas para
e
em função de
.
Queremos mostrar as fórmulas para
Passo 2
Ptolemeu em
afirma que o produto das diagonais vale a soma dos produtos de lados opostos, ou seja,
Isto será fundamental para expressar
ou
em termos dos quatro lados.
Passo 3
(c) e (d) — diagonais ao quadrado via lei dos cossenos e Ptolemeu.
Como
num quadrilátero cíclico, vale
. Igualando as duas expressões de
obtém-se
Mas
logo
que é exatamente o item (c).
que é o item (d).
Passo 4
(e) — expressão de
via área de Brahmagupta e lei dos senos.
Mas
implica
. Multiplicando
ou organizando, chega‐se a
Mas faz-se todo o aninhamento e, usando as fórmulas de
,
e as simetrias, obtém‐se ao fim
Como em Brahmagupta
,
,
,
trocam‐se os semiperímetros por
, e isso é exatamente o item (e).
Passo 5
(a) e (b) — fórmulas de meia-ângulo a partir de
e
.
reduzem-se, após algumas manipulações algébricas (colocar sobre mesmo denominador
e fatorar), exatamente a
que são os itens (a) e (b).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)