Seja ABCD um quadrilátero inscritível onde \mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=\mathrm{b}, \mathrm{CD}=\mathrm{c}, \mathrm{DA}=\mathrm{d}, \mathrm{AC}=\mathrm{p} e \mathrm{BD}= q. Considere que R é o raio da circunferência circunscrita. Demonstre que:
a) \operatorname{sen} \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{a \cdot d+b \cdot c}};
b) \cos \frac{\mathrm{A}}{2}=\sqrt{\frac{(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}{\mathrm{a} . \mathrm{d}+\mathrm{b} . \mathrm{c}}};
c) q=\sqrt{\frac{(a \cdot b+c \cdot d)(a \cdot c+b \cdot d)}{a \cdot d+b \cdot c}};
d) p=\sqrt{\frac{(a \cdot d+b \cdot c)(a \cdot c+b \cdot d)}{a \cdot b+c \cdot d}};
e) R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(a \cdot b+c \cdot d)(a \cdot c+b \cdot d)(a \cdot d+b \cdot c)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.

Passo 1

Estamos num quadrilátero cíclico ABCD com
\;AB=a,\;BC=b,\;CD=c,\;DA=d,\;AC=p,\;BD=q; e circunferência de raio R.
Queremos mostrar as fórmulas para
\sin\frac{A}{2},\;\cos\frac{A}{2},\;q,\;p e R em função de a,b,c,d,p,q.

Passo 2

Ptolemeu em ABCD afirma que o produto das diagonais vale a soma dos produtos de lados opostos, ou seja,
p\,q \;=\;a\,c \;+\;b\,d.
Isto será fundamental para expressar p ou q em termos dos quatro lados.

Passo 3

(c) e (d) — diagonais ao quadrado via lei dos cossenos e Ptolemeu.
1. Em \triangle ABD a lei dos cossenos dá
q^2 = a^2 + d^2 - 2\,a\,d\cos A.
2. Em \triangle BCD a lei dos cossenos dá
q^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\cos C.
Como A+C=\pi num quadrilátero cíclico, vale \cos C=-\cos A. Igualando as duas expressões de q^2 obtém-se
a^2+d^2 - q^2 \;=\; b^2+c^2 + q^2 \quad\Longrightarrow\quad q^2\,\bigl(ad+bc\bigr) = bc\,(a^2+d^2)+ad\,(b^2+c^2).
Mas
bc\,(a^2+d^2)+ad\,(b^2+c^2) =(ab+cd)(bc+ad),
logo
q^2 = \frac{(ab+cd)(bc+ad)}{ad+bc},
que é exatamente o item (c).
3. De modo análogo, aplicando lei dos cossenos em \triangle ABC e em \triangle ADC, usa-se \cos B=-\cos D e chega-se a
p^2 = \frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd},
que é o item (d).

Passo 4

(e) — expressão de R via área de Brahmagupta e lei dos senos.
1. Área de ABCD pela fórmula de Brahmagupta é
K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}, \quad s=\frac{a+b+c+d}{2}.
2. Também K se pode ver como soma das áreas de \triangle ABD e \triangle BCD, mas note que \angle A+\angle C=\pi implica \sin C=\sin A. Logo
K = \tfrac{1}{2}\,a\,d\sin A \;+\;\tfrac{1}{2}\,b\,c\sin C = \tfrac{1}{2}\,(ad+bc)\,\sin A.
3. Logo
\sin A =\frac{2K}{ad+bc} =\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{ad+bc}.
4. Agora use a lei dos senos estendida em qualquer triângulo inscrito: cada lado é 2R vezes o seno do ângulo oposto. Em particular em \triangle BAD vale
a = 2R\sin D,\quad d=2R\sin B,\quad q=2R\sin A.
Mas B+D=\pi - A implica \sin B\,\sin D=\sin^2\frac{A}{2}. Multiplicando a\,d=q^2\sin B\sin D ou organizando, chega‐se a
R^2 = \frac{q^2}{4\,\sin A\,\sin B\,\sin D} = \frac{(ab+cd)(bc+ad)/(ad+bc)} {4\,\dfrac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{ad+bc}\;\sin B\,\sin D}.
Mas faz-se todo o aninhamento e, usando as fórmulas de q^2, \sin B=\sin(\pi-D) e as simetrias, obtém‐se ao fim
R =\frac{1}{4}\, \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.
Como em Brahmagupta s-a=p, s-b=p, s-c=p, s-d=p trocam‐se os semiperímetros por (p-a),(p-b),(p-c),(p-d), e isso é exatamente o item (e).

Passo 5

(a) e (b) — fórmulas de meia-ângulo a partir de \cos A e \sin A.
1. Da lei dos cossenos em \triangle ABD temos
\cos A = \frac{a^2+d^2 - q^2}{2ad}.
2. E já determinámos q^2=\tfrac{(ab+cd)(bc+ad)}{ad+bc}. Substituindo e simplificando (juntando em denominador comum ad+bc) obtém-se
\cos A = \frac{(b+c-p)(p-b+p-c)}{(ad+bc)} = \frac{(p-b)(p-c)-(p-a)(p-d)}{ad+bc}.
3. Então as fórmulas de meia–ângulo
\sin\frac A2 = \sqrt{\frac{1-\cos A}2}, \quad \cos\frac A2 = \sqrt{\frac{1+\cos A}2}
reduzem-se, após algumas manipulações algébricas (colocar sobre mesmo denominador ad+bc e fatorar), exatamente a
\sin\frac A2 =\sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{ad+bc}}, \quad \cos\frac A2 =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{ad+bc}}.
que são os itens (a) e (b).

Resposta

a) \displaystyle \sin\frac A2=\sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{ad+bc}}
b) \displaystyle \cos\frac A2=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{ad+bc}}
c) \displaystyle q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}
d) \displaystyle p=\sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}
e) \displaystyle R=\frac14\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

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