Os comprimentos dos lados de um quadrilátero inscritível são 6,4,5 e 3 , respectivamente. Determine o raio da circunferência circunscrita.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero cíclico (inscritível) cujos lados, em ordem, valem 6, 4, 5 e 3. Queremos determinar o raio R da circunferência circunscrita. Para isso, usaremos o teorema de Brahmagupta para a área e a fórmula que expressa R em função dos quatro lados de um quadrilátero cíclico.

Passo 2

Calcular o semiperímetro s e a área K pelo teorema de Brahmagupta:
s = \frac{6 + 4 + 5 + 3}{2} = 9,
K = \sqrt{(s-6)(s-4)(s-5)(s-3)} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{360}.

Passo 3

Calcular os três somatórios de produtos de pares de lados:
ab + cd = 6\cdot4 + 5\cdot3 = 39,
ac + bd = 6\cdot5 + 4\cdot3 = 42,
ad + bc = 6\cdot3 + 4\cdot5 = 38.
Seu produto é
P = (ab+cd)\,(ac+bd)\,(ad+bc) = 39 \times 42 \times 38 = 62244.

Passo 4

Aplicar a fórmula do raio de um quadrilátero cíclico
R = \frac{\sqrt{P}}{4\,K} = \frac{\sqrt{62244}}{4\sqrt{360}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{62244}{360}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1729}{10}} = \frac{\sqrt{1729}}{4\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{17290}}{40} \approx 3,29.

Resposta

O raio da circunferência circunscrita é
R = \frac{\sqrt{17290}}{40} \approx 3{,}29.

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