Seja ACEG um quadrilátero circunscrito a uma circunferência, cujos pontos de tangência são B, D, F e H, com B em AC, D em CE, F em EG e H em GA. Se
e GH
, determine o valor da área de ACEG.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
que é circunscrito a uma circunferência (isto é, tem incírculo), com pontos de tangência em
sobre
, em
sobre
, em
sobre
e em
sobre
. Sabemos que as tangentes de um mesmo vértice ao ponto de contato são iguais. Logo, se chamarmos
então
Vamos usar essas igualdades para achar as quatro arestas do quadrilátero e, em seguida, aplicar a fórmula da área em termos dos comprimentos das arestas.
Passo 2
Cada lado de
é soma de dois desses comprimentos:
Passo 3
Verificamos a condição de Pitot (essencial para quadrilátero tangencial):
confirma que existe incírculo.
Passo 4
Para um quadrilátero tangencial com arestas
, uma forma prática de calcular a área é
Aqui
,
,
,
.
Passo 5
Substituindo os valores: