Seja ACEG um quadrilátero circunscrito a uma circunferência, cujos pontos de tangência são B, D, F e H, com B em AC, D em CE, F em EG e H em GA. Se \mathrm{AB}=3, \mathrm{CD}=4, \mathrm{EF}=5 e GH =6, determine o valor da área de ACEG.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ACEG que é circunscrito a uma circunferência (isto é, tem incírculo), com pontos de tangência em B sobre AC, em D sobre CE, em F sobre EG e em H sobre GA. Sabemos que as tangentes de um mesmo vértice ao ponto de contato são iguais. Logo, se chamarmos
p = AB = AH,\quad q = BC = CD,\quad r = DE = EF,\quad s = FG = GH,
então
p=3,\;q=4,\;r=5,\;s=6.
Vamos usar essas igualdades para achar as quatro arestas do quadrilátero e, em seguida, aplicar a fórmula da área em termos dos comprimentos das arestas.

Passo 2

Cada lado de ACEG é soma de dois desses comprimentos:
AC = AB + BC = p + q = 3 + 4 = 7,
CE = CD + DE = q + r = 4 + 5 = 9,
EG = EF + FG = r + s = 5 + 6 = 11,
GA = GH + HA = s + p = 6 + 3 = 9.

Passo 3

Verificamos a condição de Pitot (essencial para quadrilátero tangencial):
AC + EG = 7 + 11 = 18,\quad CE + GA = 9 + 9 = 18,
confirma que existe incírculo.

Passo 4

Para um quadrilátero tangencial com arestas a,b,c,d, uma forma prática de calcular a área é
\text{Área} \;=\;\sqrt{(a)(b)\text{(c)}(d)}.Á
Aqui a=AC, b=CE, c=EG, d=GA.

Passo 5

Substituindo os valores:
\text{Área} =\sqrt{(7)\,(9)\,(11)\,(9)} =\sqrt{7\cdot9\cdot11\cdot9} =\sqrt{6237} =9\sqrt{77}.Á

Resposta

9\sqrt{77}

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