Prove, utilizando o Teorema de Ptolomeu, que em um trapézio isósceles de bases a e b e lados iguais de comprimento c o valor da diagonal é igual a \sqrt{a \cdot b+c^{2}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um trapézio isósceles ABCD com AB\parallel CD, bases de comprimentos AB=b e CD=a, e lados iguais AD=BC=c. O objetivo é mostrar que a diagonal AC satisfaz
AC=\sqrt{a\,b + c^2}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Ptolomeu, válido em quadriláteros cíclicos, e a propriedade de que um trapézio isósceles é concíclico.

Passo 2

Mostramos primeiro que ABCD é um quadrilátero cíclico. Num trapézio isósceles as bases produzem ângulos pares iguais:
\angle DAB = \angle ABC e \angle ADC = \angle BCD.
Como cada par de ângulos adjacentes soma 180^\circ, os quatro vértices ficam concíclicos. Além disso, em qualquer trapézio isósceles cíclico as diagonais são iguais:
BD = AC.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Ptolomeu em ABCD (cíclico), temos
AC \cdot BD \;=\; AB\cdot CD \;+\; BC\cdot AD.
Substituindo BD=AC, AB=b, CD=a e BC=AD=c, vem
AC^2 = b\cdot a + c\cdot c = a\,b + c^2.

Passo 4

Basta extrair raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que o comprimento é positivo:
AC = \sqrt{a\,b + c^2}.

Resposta

\displaystyle AC = \sqrt{a\,b + c^2}.

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