Prove, utilizando o Teorema de Ptolomeu, que em um trapézio isósceles de bases a e b e lados iguais de comprimento c o valor da diagonal é igual a
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um trapézio isósceles
com
, bases de comprimentos
e
, e lados iguais
. O objetivo é mostrar que a diagonal
satisfaz
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Ptolomeu, válido em quadriláteros cíclicos, e a propriedade de que um trapézio isósceles é concíclico.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é um quadrilátero cíclico. Num trapézio isósceles as bases produzem ângulos pares iguais:
e
.
Como cada par de ângulos adjacentes soma , os quatro vértices ficam concíclicos. Além disso, em qualquer trapézio isósceles cíclico as diagonais são iguais:
Como cada par de ângulos adjacentes soma
Passo 3
Aplicando o Teorema de Ptolomeu em
(cíclico), temos
Substituindo
,
,
e
, vem
Passo 4
Basta extrair raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que o comprimento é positivo: