Seja f uma aplicação contínua de um espaço métrico X em um espaço métrico Y. Se E é um subconjunto fechado de Y, prove que f^-1(Y) é fechado em X.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aplicação contínua fcolon Xto Y entre espaços métricos e um subconjunto fechado Esubset Y. Queremos mostrar que o subconjunto
f^-1(E)=xin Xmid f(x)in E
é fechado em X. Para isso, vamos usar duas ideias básicas:
  1. Num espaço métrico, um conjunto é fechado se e somente se o seu complementar é aberto.
  2. Para função contínua, o contra-imagem de qualquer conjunto aberto é aberto.

Passo 2

Como E é fechado em Y, o seu complementar
Ysetminus E
é aberto em Y.

Passo 3

Pela continuidade de f, a contra-imagem de qualquer aberto de Y é aberto em X. Em particular,
f^-1l(Ysetminus Er)
é um aberto de X.

Passo 4

Note que a contra-imagem preserva complementos, isto é, vale sempre a igualdade
f^-1l(Ysetminus Er) = Xsetminus f^-1(E)

Passo 5

Como f^-1(Ysetminus E) é aberto (Passo 3) e é igual a Xsetminus f^-1(E) (Passo 4), concluímos que o complementar de f^-1(E) é aberto. Logo, f^-1(E) é fechado em X.

Resposta

O conjunto f^-1(E) é fechado em X.

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