Seja
uma aplicação contínua de um espaço métrico
em um espaço métrico
. Se
é um subconjunto fechado de
, prove que
é fechado em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma aplicação contínua
entre espaços métricos e um subconjunto fechado
. Queremos mostrar que o subconjunto
é fechado em
. Para isso, vamos usar duas ideias básicas:
- Num espaço métrico, um conjunto é fechado se e somente se o seu complementar é aberto.
- Para função contínua, o contra-imagem de qualquer conjunto aberto é aberto.
Passo 2
Como
é fechado em
, o seu complementar
é aberto em
.
Passo 3
Pela continuidade de
, a contra-imagem de qualquer aberto de
é aberto em
. Em particular,
é um aberto de
.
Passo 4
Note que a contra-imagem preserva complementos, isto é, vale sempre a igualdade
Passo 5
Como
é aberto (Passo 3) e é igual a
(Passo 4), concluímos que o complementar de
é aberto. Logo,
é fechado em
.
Resposta
O conjunto
é fechado em
.