Se E subset X e se f é uma função definida em X, a restrição de f a E é a função g, cujo domínio é E, tal que g(p)=f(p) para p in E. Defina f e g em R^2 por: f(0,0)=g(0,0)=0, f(x, y)=x y^2 /(x^2+y^A), g(x, y)=x y^3 /(x^2+y^6) se (x, y) neq(0,0). Prove que f é limitada em R^2, que g é ilimitada em tôda vizinhança de ( 0,0 ) e que f não é contínua em ( 0,0 ); entretanto, as restrições tanto de f como de g a cada reta de R^2 são contínuas!

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas funções em R^2, dadas por
f(0,0)=0, f(x,y)=x,y^2x^2+y^4se (x,y)neq(0,0),
g(0,0)=0, g(x,y)=x,y^3x^2-y^6se (x,y)neq(0,0)
Precisamos mostrar:
  1. f é limitada em R^2.
  2. g é ilimitada em toda vizinhança de (0,0).
  3. f não é contínua em (0,0).
  4. Para toda reta L que passa por (0,0), as restrições f|L e g|L são contínuas.

Passo 2

Provar que f é limitada. Note que, para (x,y)neq(0,0),
x^2+y^4 ;>=; 2,|x|;y^2 (por AMGM: x^2+y^4>=2raizx^2y^4=2|x|y^2)
Logo
l|f(x,y)r| =|x|,y^2x^2+y^4 <=|x|,y^22|x|,y^2 =12
E em (0,0) temos |f(0,0)|=0. Portanto
sup(x,y)inR^2|f(x,y)| ;<=;tfrac12,
ou seja, f é limitada.

Passo 3

Provar que g é ilimitada em toda vizinhança de (0,0). Seja de<a>0. Vamos construir pontos (x,y) com raizx^2+y^2<de<a onde g(x,y) fica arbitrariamente grande. Escolha y=t>0 pequeno tal que t<de<a e tome
x = t^3 + t^4
Então para (x,y) temos
x^2 - y^6 =(t^3+t^4)^2 - t^6 =2t^7 + t^8,
e l|g(x,y)r| =(t^3+t^4),t^3l|2t^7+t^8r| =t^6+t^7t^7(2+t) =1+t2+t,1t
Como tto0^+, tfrac1+t2+ttotfrac12 e 1tto+infty. Assim, dado M>0, basta escolher t pequeno (menor que de<a) para garantir l|g(x,y)r|>M. Logo g é ilimitada em qualquer disco centrado na origem.

Passo 4

Provar que f não é contínua em (0,0). Considere o caminho
y=raizx, x>=0
Então, para x>0,
fl(x,raizxr) =x,(x)x^2 + (x)^2 =x^22x^2 =12
Portanto
limxto0^+fl(x,raizxr)=tfrac12neq f(0,0)=0
e f falha a continuidade em (0,0).

Passo 5

Provar que as restrições de f e g a qualquer reta L que passe por (0,0) são contínuas. Seja uma reta dada por y=mx.
  1. Para f, em (x,mx) com xneq0:
f(x,mx) =x,(mx)^2x^2 + (mx)^4 =m^2x^3x^2 + m^4x^4 =m^2,x1 + m^4x^2,
que é uma função contínua de x em R e tende a 0 quando xto0, igual a f(0,0).
2. Para g, em (x,mx) com xneq0:
g(x,mx) =x,(mx)^3x^2 - (mx)^6 =m^3x^4x^2 - m^6x^6 =m^3,x^21 - m^6x^4,
que também é contínua em x para x perto de 0 (já que 1-m^6x^4neq0 para x pequeno) e tende a 0=g(0,0).
Logo, em qualquer reta, ambas as restrições são contínuas na origem.

Resposta

  1. f é limitada, pois |f(x,y)|<=12 para todo (x,y).
  2. g é ilimitada em qualquer vizinhança de (0,0).
  3. f não é contínua em (0,0), pois há caminhos que levam a limite tfrac12neq0.
  4. As restrições f|L e g|L a toda reta L são contínuas.

Exercícios de Livros Relacionados