Se e se é uma função definida em , a restrição de a é a função , cujo domínio é , tal que para . Defina e em por: se . Prove que é limitada em , que é ilimitada em tôda vizinhança de ( 0,0 ) e que não é contínua em ( 0,0 ); entretanto, as restrições tanto de como de a cada reta de são contínuas!
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas funções em , dadas por
Precisamos mostrar:
é limitada em .
é ilimitada em toda vizinhança de .
não é contínua em .
Para toda reta que passa por , as restrições e são contínuas.
Passo 2
Provar que é limitada. Note que, para ,
Logo
E em (0,0) temos |f(0,0)|=0. Portanto
sup(x,y)inR^2|f(x,y)| ;<=;tfrac12,
ou seja, f é limitada.
Passo 3
Provar que g é ilimitada em toda vizinhança de (0,0). Seja de<a>0. Vamos construir pontos (x,y) com raizx^2+y^2<de<a onde g(x,y) fica arbitrariamente grande. Escolha y=t>0 pequeno tal que t<de<a e tome
x = t^3 + t^4
Então para (x,y) temos
x^2 - y^6 =(t^3+t^4)^2 - t^6 =2t^7 + t^8,
e l|g(x,y)r| =(t^3+t^4),t^3l|2t^7+t^8r| =t^6+t^7t^7(2+t) =1+t2+t,1t
Como tto0^+, tfrac1+t2+ttotfrac12 e 1tto+infty. Assim, dado M>0, basta escolher t pequeno (menor que de<a) para garantir l|g(x,y)r|>M. Logo g é ilimitada em qualquer disco centrado na origem.
Passo 4
Provar que f não é contínua em (0,0). Considere o caminho
y=raizx, x>=0
Então, para x>0,
fl(x,raizxr) =x,(x)x^2 + (x)^2 =x^22x^2 =12
Portanto
limxto0^+fl(x,raizxr)=tfrac12neq f(0,0)=0
e f falha a continuidade em (0,0).
Passo 5
Provar que as restrições de f e g a qualquer reta L que passe por (0,0) são contínuas. Seja uma reta dada por y=mx.