(UE-CE) Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy ( x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades), que são divisíveis por 15. O número de elementos de X é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Passo 1

O enunciado pede quantos números da forma 31754xy (com x e y dígitos) são divisíveis por 15. Para um número ser divisível por 15, ele precisa ser divisível por 3 e por 5. Vamos usar essas duas condições para contar todas as possibilidades de x e y.

Passo 2

Divisibilidade por 5 implica que o dígito das unidades y deve ser
y in 0,5

Passo 3

Divisibilidade por 3 implica que a soma dos dígitos seja múltipla de 3. Os dígitos fixos 3,1,7,5,4 somam
3 + 1 + 7 + 5 + 4 = 20
Logo, precisamos ter
20 + x + y equiv 0 pmod3 ;Long<=ftrightarrow; x + y equiv 1 pmod3,
pois 20equiv2pmod3.

Passo 4

Caso y=0:
x + 0 equiv 1 pmod3 ;Longrightarrow; x equiv 1 pmod3,
isto é,
x in 1,4,7
Há 3 escolhas para x.

Passo 5

Caso y=5:
x + 5 equiv 1 pmod3 ;Longrightarrow; x + 2 equiv 1 pmod3 ;Longrightarrow; x equiv 2 pmod3,
isto é,
x in 2,5,8
Há também 3 escolhas para x.

Passo 6

Somando as possibilidades dos dois casos, o total de números é
3 + 3 = 6

Resposta

(a) intensidade: 6

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