Seja o conjunto
.
a) Quantas são as relaçōes de A em A?
b) De todas as relaçóses de
em
quals são funçōes de
em
?
c) Encontre para as funçōes de A em A determinadas, as respectivas relacões inversas: dessas, quais sâo funçöes de A em A?
Soluçāo:
a) Lembre que qualquer relaçāo de A em A é um subconjunto do produto cartesiano
.
número de elementos de
é
, e o número dé sebs subconjuntos è
. Então, o número de relaçbes de
é 16.
b) Das 16 relações de
em
, são funções de
ern
:
a) Quantas são as relaçōes de A em A?
b) De todas as relaçóses de
c) Encontre para as funçōes de A em A determinadas, as respectivas relacões inversas: dessas, quais sâo funçöes de A em A?
b) Das 16 relações de
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o conjunto
:
- Contar quantas relações de
em existem. - Dentre elas, identificar quais são funções de
em . - Para cada função encontrada, determinar sua relação inversa e ver quais dessas inversas também são funções de
em .
Passo 2
Uma relação de
em
é um subconjunto de
. Como , temos
O número de subconjuntos de um conjunto com 4 elementos é
.
Passo 3
Uma função de
em
é uma relação em que todo elemento de
aparece exatamente uma vez como primeira componente num par ordenado. Como cada um dos 2 elementos pode ser enviado a 2 possibilidades, o total de funções é
Passo 4
Listando as 4 funções como relações (cada uma com exatamente dois pares):
Passo 5
A inversa de uma relação
é
Aplicando a cada
:
Para uma inversa ser função de
em
, cada elemento de
deve aparecer exatamente uma vez como primeira componente. Isso só ocorre em
e em
, pois
e
são bijeções.
Resposta
a)
.
b) As funções de em
são
b) As funções de
c) As inversas são
e somente
e
são funções de
em
.