Seja o conjunto A=0 ; 1.
a) Quantas são as relaçōes de A em A?
b) De todas as relaçóses de A em A quals são funçōes de A em A ?
c) Encontre para as funçōes de A em A determinadas, as respectivas relacões inversas: dessas, quais sâo funçöes de A em A?

Soluçāo:

a) Lembre que qualquer relaçāo de A em A é um subconjunto do produto cartesiano A times A. O número de elementos de A times A é nA times A=4, e o número dé sebs subconjuntos è 2^4=16. Então, o número de relaçbes de A em A é 16.
b) Das 16 relações de A em A, são funções de A ern A :

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o conjunto A = 0,1:
  1. Contar quantas relações de A em A existem.
  2. Dentre elas, identificar quais são funções de A em A.
  3. Para cada função encontrada, determinar sua relação inversa e ver quais dessas inversas também são funções de A em A.

Passo 2

Uma relação de em é um subconjunto de . Como , temos
O número de subconjuntos de um conjunto com 4 elementos é .

Passo 3

Uma função de em é uma relação em que todo elemento de aparece exatamente uma vez como primeira componente num par ordenado. Como cada um dos 2 elementos pode ser enviado a 2 possibilidades, o total de funções é

Passo 4

Listando as 4 funções como relações (cada uma com exatamente dois pares):
f1 = (0,0),(1,0), f2 = (0,0),(1,1), f3 = (0,1),(1,0), f4 = (0,1),(1,1)

Passo 5

A inversa de uma relação Rsubseteq Atimes A é
R^-1 = (y,x)mid (x,y)in R
Aplicando a cada fi:
f1^-1 = (0,0),(0,1), f2^-1 = (0,0),(1,1), f3^-1 = (1,0),(0,1), f4^-1 = (1,0),(1,1)
Para uma inversa ser função de A em A, cada elemento de A deve aparecer exatamente uma vez como primeira componente. Isso só ocorre em f2^-1 e em f3^-1, pois f2 e f3 são bijeções.

Resposta

a) 16.
b) As funções de A em A são
f1 = (0,0),(1,0), f2 = (0,0),(1,1), f3 = (0,1),(1,0), f4 = (0,1),(1,1)
c) As inversas são
f1^-1 = (0,0),(0,1), f2^-1 = (0,0),(1,1), f3^-1 = (1,0),(0,1), f4^-1 = (1,0),(1,1),
e somente f2^-1 e f3^-1 são funções de A em A.

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