Prove que: lim an=a Long<=ftrightarrow lim |an-a|=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência real (an):
  1. limntoinftyan = a.
  2. limntoinfty|an - a| = 0.
    O conteúdo envolvido é a definição de limite de sequência e as propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Vamos provar limntoinftyan = aimplies limntoinfty|an - a| = 0.
Pela definição de limite, se limntoinftyan = a, então para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N,
|an - a| < varepsilon
Mas isso é exatamente a afirmação de que a sequência |an - a| converge a zero, pois
l||an - a| - 0r| = |an - a| < varepsilon
Logo limntoinfty|an - a| = 0.

Passo 3

Agora provamos limntoinfty|an - a| = 0implies limntoinftyan = a.
Se limntoinfty|an - a| = 0, então para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N,
l||an - a| - 0r| < varepsilon,
isto é,
|an - a| < varepsilon
Mas isso é exatamente a condição de que limntoinftyan = a. Portanto, a convergência de |an - a| a zero implica a convergência de an para a.

Resposta

Mostramos os dois sentidos da equivalência, concluindo que
limntoinftyan = aLong<=ftrightarrow limntoinfty|an - a| = 0

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