O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência real :
.
.
O conteúdo envolvido é a definição de limite de sequência e as propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Vamos provar .
Pela definição de limite, se , então para todo existe tal que, para todo ,
Mas isso é exatamente a afirmação de que a sequência converge a zero, pois
Logo limntoinfty|an - a| = 0.
Passo 3
Agora provamos limntoinfty|an - a| = 0implies limntoinftyan = a.
Se limntoinfty|an - a| = 0, então para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N,
l||an - a| - 0r| < varepsilon,
isto é,
|an - a| < varepsilon
Mas isso é exatamente a condição de que limntoinftyan = a. Portanto, a convergência de |an - a| a zero implica a convergência de an para a.
Resposta
Mostramos os dois sentidos da equivalência, concluindo que