Seja rs um número racional positivo não nulo. Prove que:
(\\frac{r}{s}+\\frac{s}{r} \\geqslant 2\\
Em que condiçōes ocorre a igualdade?)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para r e s positivos e não nulos, vale
rs + sr >= 2
O conteúdo que vamos usar é a reescrita da soma como quociente e a observação de que o quadrado de uma diferença é sempre não-negativo.

Passo 2

Reescrevemos o lado esquerdo como uma única fração:
rs + sr = r^2 + s^2rs

Passo 3

Note que
r^2 + s^2 - 2,r,s = (r - s)^2 >= 0,
pois toda expressão do tipo (algo)^2 é não-negativa. Assim
r^2 + s^2 >= 2,r,s

Passo 4

Como rs>0, ao dividir a desigualdade anterior por rs obtemos
r^2 + s^2rs >= 2,r,sr,s = 2,
o que equivale exatamente a
rs + sr >= 2

Passo 5

A igualdade em (r - s)^2 >= 0 só ocorre quando r - s = 0, ou seja, quando
r = s

Resposta

A desigualdade rs + sr >= 2 vale para todo r,s>0.
A igualdade ocorre se, e somente se, r = s.

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