Seja
um número racional positivo não nulo. Prove que:
(\\frac{r}{s}+\\frac{s}{r} \\geqslant 2\\
Em que condiçōes ocorre a igualdade?)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para
e
positivos e não nulos, vale
O conteúdo que vamos usar é a reescrita da soma como quociente e a observação de que o quadrado de uma diferença é sempre não-negativo.
Passo 2
Reescrevemos o lado esquerdo como uma única fração:
Passo 3
Note que
pois toda expressão do tipo
é não-negativa. Assim
Passo 4
Como
, ao dividir a desigualdade anterior por
obtemos
o que equivale exatamente a
Passo 5
A igualdade em
só ocorre quando
, ou seja, quando
Resposta
A desigualdade
vale para todo
.
A igualdade ocorre se, e somente se, .
A igualdade ocorre se, e somente se,