Se f é uma função real contínua definida em um conjunto fechado E subset R^1, prove que existem funçöes reais contínuas, g, em R^1 tais que g(x)=f(x) para todo x in E. (Tais funções g são chamadas extensöes continuas de f de E a R^1.) Mostre que o resultado é falso se a palavra “fechado” for omitida. Estenda o resultado para funções vetoriais. Sugestao: Seja o gráfico de g um segmento de reta em cada um dos intervalos abertos que constituem o complemento de E (ver Exerc. 15, Cap. 2). O resultado ainda é verdadeiro se R^1 fôr substituido por um espaço métrico qualquer, mas a demonstração não é tão simples.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma função contínua real f definida num conjunto fechado EsubsetR, existe uma função contínua gcolonRtoR tal que
g(x)=f(x)para todo xin E
O conteúdo usado será a topologia de R: o fato de que o complemento de um subconjunto fechado de R se escreve como união de intervalos abertos disjuntos, e a ideia de interpolação linear nesses intervalos. Também mostraremos que sem a hipótese de fechado isso pode falhar e que o mesmo argumento vale para funções com valores em R^m.

Passo 2

Como E é fechado em R, seu complemento Rsetminus E é aberto. Logo
Rsetminus E=cupalphaIalpha,
onde cada Ialpha é um intervalo aberto disjunto dos demais. São do tipo
(a,b),(-infty,b),(a,+infty),
com a,bin Ecuppminfty. Em cada um desses intervalos não há pontos de E.

Passo 3

Definimos gcolonRtoR assim:
  1. Se xin E, ponha g(x)=f(x).
  2. Se xin Ialpha=(a,b) com a,binR, usamos interpolação linear entre os valores de f em a e b:
g(x)=f(a)+l(f(b)-f(a)r)x-ab-a
  1. Se Ialpha=(-infty,b), definimos
g(x)=f(b)para x<b,
e, de modo análogo, se Ialpha=(a,+infty) escolhemos
g(x)=f(a)para x>a

Passo 4

Verificamos que g é contínua em R:
  • Em cada intervalo aberto Ialpha, g é afim em x, logo contínua.
  • Nos pontos interiores de E, g coincide com f, que é contínua por hipótese.
  • Nos extremos a ou b de cada intervalo, o valor limite de g ao aproximar-se pelo interior de Ialpha coincide com f(a) ou f(b) (pois a fórmula afim tende a esses valores), e isso iguala o valor g(a)=f(a) ou g(b)=f(b). Assim não há descontinuidade de salto.

Passo 5

Se omitirmos “fechado”, o resultado pode falhar. Exemplo:
E=(0,1), f(x)=sinl(tfrac1xr)
Aqui f é contínua em E, mas não admite extensão contínua para x=0 (o limite sin(1/x) não existe quando xto0^+). Logo não há função g contínua em R com g|(0,1)=f.

Passo 6

Para fcolon EtoR^m contínua, escreva f=(f1,dots,fm). Cada coordenada fi estende-se a gi em R pelo procedimento acima. Então
g=(g1,dots,gm)colonRtoR^m
é contínua e coincide com f em E.

Resposta

Construímos a extensão g de f definindo-a igual a f em E e por interpolação linear em cada componente aberta de Rsetminus E. Essa g é contínua em todo R. Sem a hipótese de fechado há contraexemplo ( sin(1/x) em (0,1)). Para valores vetoriais, basta estender cada coordenada separadamente.

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