Se
é uma função real contínua definida em um conjunto fechado
, prove que existem funçöes reais contínuas,
, em
tais que
para todo
. (Tais funções
são chamadas extensöes continuas de
de
a
.) Mostre que o resultado é falso se a palavra “fechado” for omitida. Estenda o resultado para funções vetoriais. Sugestao: Seja o gráfico de
um segmento de reta em cada um dos intervalos abertos que constituem o complemento de
(ver Exerc. 15, Cap. 2). O resultado ainda é verdadeiro se
fôr substituido por um espaço métrico qualquer, mas a demonstração não é tão simples.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma função contínua real
definida num conjunto fechado
, existe uma função contínua
tal que
O conteúdo usado será a topologia de
: o fato de que o complemento de um subconjunto fechado de
se escreve como união de intervalos abertos disjuntos, e a ideia de interpolação linear nesses intervalos. Também mostraremos que sem a hipótese de fechado isso pode falhar e que o mesmo argumento vale para funções com valores em
.
Passo 2
Como
é fechado em
, seu complemento
é aberto. Logo
onde cada
é um intervalo aberto disjunto dos demais. São do tipo
com
. Em cada um desses intervalos não há pontos de
.
Passo 3
Definimos
assim:
- Se
, ponha . - Se
com , usamos interpolação linear entre os valores de em e :
- Se
, definimos
e, de modo análogo, se
escolhemos
Passo 4
Verificamos que
é contínua em
:
- Em cada intervalo aberto
, é afim em , logo contínua. - Nos pontos interiores de
, coincide com , que é contínua por hipótese. - Nos extremos
ou de cada intervalo, o valor limite de ao aproximar-se pelo interior de coincide com ou (pois a fórmula afim tende a esses valores), e isso iguala o valor ou . Assim não há descontinuidade de salto.
Passo 5
Se omitirmos “fechado”, o resultado pode falhar. Exemplo:
Aqui
é contínua em
, mas não admite extensão contínua para
(o limite
não existe quando
). Logo não há função
contínua em
com
.
Passo 6
Para
contínua, escreva
. Cada coordenada
estende-se a
em
pelo procedimento acima. Então
é contínua e coincide com
em
.
Resposta
Construímos a extensão
de
definindo-a igual a
em
e por interpolação linear em cada componente aberta de
. Essa
é contínua em todo
. Sem a hipótese de fechado há contraexemplo (
em
). Para valores vetoriais, basta estender cada coordenada separadamente.