Use indução para provar que:
a<0 Rightarrow a^2 n+1<0, forall n >= 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que, dado a<0, então
a^2n+1<0
para todo n>=0. O método escolhido é a indução sobre o inteiro n.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
a^2cdot0+1=a^1=a
Como a<0 por hipótese, segue imediatamente que
a^2cdot0+1<0

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para um certo k>=0, valha
a^2k+1<0
Então, usando que a^2>0 (pois o quadrado de um real não nulo é sempre positivo), temos
a^2(k+1)+1 =a^2k+3 =a^2k+1cdot a^2
O produto de um número negativo ( a^2k+1) por um positivo ( a^2) é negativo, logo
a^2(k+1)+1<0

Passo 4

Como a propriedade vale para n=0 e, sempre que vale para n=k, passa a valer para n=k+1, concluímos por indução que
a^2n+1<0
para todo n>=0.

Resposta

Por indução, se a<0 então a^2n+1<0 para todo n>=0.

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