Seja a um inteiro positivo e indiquemos por b o inteiro formado quando se escrevem os algarismos de a na ordem contrária. (Por exemplo, se
.) Prove que
e portanto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um inteiro positivo e
é o inteiro que se obtém invertendo os dígitos de
, então
e, consequentemente,
.
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de que , que leva a
para todo inteiro
.
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de que
Passo 2
Escrevemos
na base decimal como
onde cada
e
. Como
, segue-se que para todo
Logo, reduzindo
módulo 9, obtemos
Passo 3
De modo análogo, ao inverter os dígitos de
obtemos
Aplicando de novo
em cada termo, vem
Passo 4
Comparando as duas congruências, vemos que tanto
quanto
são congruentes à soma dos dígitos
. Portanto
Resposta
Como
, concluímos que
.