Seja a um inteiro positivo e indiquemos por b o inteiro formado quando se escrevem os algarismos de a na ordem contrária. (Por exemplo, se a=1236, b=6321.) Prove que a=b(bmod 9) e portanto 9 mid(a-b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é um inteiro positivo e b é o inteiro que se obtém invertendo os dígitos de a, então
a equiv b pmod9
e, consequentemente, 9mid(a-b).
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de que 10equiv1pmod9, que leva a 10^kequiv1pmod9 para todo inteiro k>=0.

Passo 2

Escrevemos a na base decimal como
a = dn,10^n + dn-1,10^n-1 + cdots + d1,10 + d0,
onde cada diin0,1,2,dots,9 e dnneq0. Como 10equiv1pmod9, segue-se que para todo i>=0
10^i equiv 1^i = 1 pmod9
Logo, reduzindo a módulo 9, obtemos
a equiv dn + dn-1 + cdots + d1 + d0 pmod9

Passo 3

De modo análogo, ao inverter os dígitos de a obtemos
b = d0,10^n + d1,10^n-1 + cdots + dn-1,10 + dn
Aplicando de novo 10^kequiv1pmod9 em cada termo, vem
b equiv d0 + d1 + cdots + dn-1 + dn pmod9

Passo 4

Comparando as duas congruências, vemos que tanto a quanto b são congruentes à soma dos dígitos d0+d1+cdots+dn. Portanto
a equiv b pmod9

Resposta

Como aequiv bpmod9, concluímos que 9mid(a-b).

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