Seja um número primo. Mostre que a congruência admite soluções se, e somente se, p .
Sugestão: A congruência admite soluções se, e somente se, -1 é resto quadrático de p.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, dado um primo , quando a congruência
tem solução. Isso é um problema de resíduos quadráticos: a congruência é solúvel se, e somente se, for um resto quadrático módulo . Vamos usar o critério de Euler para caracteres quadráticos.
Passo 2
A congruência
é solúvel se, e somente se,
onde é o símbolo de Legendre indicando se é resto quadrático módulo .
Passo 3
Pelo critério de Euler, para qualquer coprimo com vale
e como o símbolo de Legendre só toma valores , temos de fato
Passo 4
Note que
O inteiro tfracp-12 é par exatamente quando p-1equiv0pmod4, ou seja, quando
pequiv1pmod4
Portanto
(-1p)=1Long<=ftrightarrow pequiv1pmod4
Resposta
A congruência x^2+1equiv0pmodp admite solução se, e somente se,
pequiv1pmod4
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 327