Seja p>2 um número primo. Mostre que a congruência x^2+1 cong 0 (bmod p) admite soluções se, e somente se, p not equiv 1(bmod 4).
Sugestão: A congruência admite soluções se, e somente se, -1 é resto quadrático de p.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, dado um primo p>2, quando a congruência
x^2+1 equiv 0 pmodp
tem solução. Isso é um problema de resíduos quadráticos: a congruência é solúvel se, e somente se, -1 for um resto quadrático módulo p. Vamos usar o critério de Euler para caracteres quadráticos.

Passo 2

A congruência
x^2equiv -1pmodp
é solúvel se, e somente se,
(-1p)=1,
onde l(tfrac-1pr) é o símbolo de Legendre indicando se -1 é resto quadrático módulo p.

Passo 3

Pelo critério de Euler, para qualquer a coprimo com p vale
(ap)equiv a^p-12pmodp,
e como o símbolo de Legendre só toma valores pm1, temos de fato
(-1p)=(-1)^p-12

Passo 4

Note que
(-1)^p-12= 1,&se p-12 é par, -1,&se p-12 é ímpar ééí
O inteiro tfracp-12 é par exatamente quando p-1equiv0pmod4, ou seja, quando
pequiv1pmod4
Portanto
(-1p)=1Long<=ftrightarrow pequiv1pmod4

Resposta

A congruência x^2+1equiv0pmodp admite solução se, e somente se,
pequiv1pmod4

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