(UF-ES) Seja uma matriz real 3 times 3 invertível.
a) Determine os elementos a12 e a13 da matriz A, sabendo que existe um número real x tal que a12=cos (2 x)+2 sen^2(x) e que a13=sec (9 pi)+tg(-3 pi) sen(3 x).
b) Calcule os elementos da segunda linha da matriz A, sabendo que 2, a22 e a23 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma é 3.
c) Determine os elementos b e c da matriz A de modo que b=c=det(A), sabendo que os elementos a31 e a32, ambos positivos, são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de uma das raízes complexas da equação z^3-4 z^2+5 z=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz invertível
A= b & a12 & a13 2 & a22 & a23 a31 & a32 & c
e pede:
a) simplificar a12=cos(2x)+2sen^2(x) e a13=sec(9pi)+tg(-3pi)sen(3x);
b) achar a22,a23 sabendo que (2,a22,a23) é P.A. de soma 3;
c) determinar b e c tal que b=c=det(A), sabendo que (a31,a32) são parte real e imaginária de uma raiz de
z^3-4z^2+5z=0
Vamos usar identidades trigonométricas, definição de P.A., raízes de polinômios e cálculo de determinante 3times 3.
Seja k=b=c. Então k=det(A)=k(k-2), isto é k(k-2)-k=0Rightarrow k(k-3)=0. Pela invertibilidade kneq0, logo k=3. Portanto
b=c=3
Resposta
a) a12=1, a13=-1.
b) a22=1, a23=0.
c) b=c=3.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 202