(UF-ES) Seja A=[lllb & a12 & a13 2 & a22 & a23 a31 & a32 & c] uma matriz real 3 times 3 invertível.
a) Determine os elementos a12 e a13 da matriz A, sabendo que existe um número real x tal que a12=cos (2 x)+2 sen^2(x) e que a13=sec (9 pi)+tg(-3 pi) sen(3 x).
b) Calcule os elementos da segunda linha da matriz A, sabendo que 2, a22 e a23 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma é 3.
c) Determine os elementos b e c da matriz A de modo que b=c=det(A), sabendo que os elementos a31 e a32, ambos positivos, são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de uma das raízes complexas da equação z^3-4 z^2+5 z=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz invertível
A= b & a12 & a13 2 & a22 & a23 a31 & a32 & c
e pede:
a) simplificar a12=cos(2x)+2sen^2(x) e a13=sec(9pi)+tg(-3pi)sen(3x);
b) achar a22,a23 sabendo que (2,a22,a23) é P.A. de soma 3;
c) determinar b e c tal que b=c=det(A), sabendo que (a31,a32) são parte real e imaginária de uma raiz de
z^3-4z^2+5z=0
Vamos usar identidades trigonométricas, definição de P.A., raízes de polinômios e cálculo de determinante 3times 3.

Passo 2

Usamos cos(2x)=1-2sen^2(x). Então
a12 = cos(2x) + 2sen^2(x) = (1-2sen^2(x)) + 2sen^2(x) = 1

Passo 3

Calculamos
sec(9pi)=1/cos(9pi)=1/(-1)=-1 e tg(-3pi)=0. Logo
a13 = sec(9pi) + tg(-3pi)sen(3x) = -1 + 0 = -1

Passo 4

Em P.A. com primeiro termo 2, razão d=a22-2 e terceiro termo a23=a22+d, a soma é
2 + a22 + (a22+d) = 2 + a22 + a22 + (a22-2) = 3a22 = 3
de onde a22=1. Então d=1-2=-1 e a23=1-1=0.

Passo 5

A equação z^3-4z^2+5z=0 fatoriza-se em z(z^2-4z+5)=0, cujas raízes são z=0 e z=2pm i. Escolhendo a que tem partes positivas, (a31,a32)=(2,1).
Assim
A= b & 1 & -1 2 & 1 & 0 2 & 1 & c ,
det(A)=b,(1cdot c-0cdot1);-;1,(2cdot c-0cdot2);-;(2cdot1-1cdot2) =bc-2c-0=c(b-2)
Seja k=b=c. Então k=det(A)=k(k-2), isto é k(k-2)-k=0Rightarrow k(k-3)=0. Pela invertibilidade kneq0, logo k=3. Portanto
b=c=3

Resposta

a) a12=1, a13=-1.
b) a22=1, a23=0.
c) b=c=3.

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