Calcule: underset(200)varphi(200) varphi(860) e varphi(1001).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função totiente de Euler, ou seja, phi(n) para alguns valores de n. A teoria que usamos é que, se
n = prodi pi^ei
é a fatoração prima de n, então vale a fórmula
phi(n) = n ,prodpimid nl(1 - 1pir)
Para resolver, vamos fatorar cada número e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Para n = 200, fazemos a fatoração
200 = 2^3 cdot 5^2
Aplicando a fórmula,
phi(200) = 200 l(1 - tfrac12r)l(1 - tfrac15r) = 200 times tfrac12 times tfrac45 = 100 times tfrac45 = 80

Passo 3

Para n = 860, temos
860 = 2^2 cdot 5 cdot 43
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phi(860) = 860 l(1 - tfrac12r)l(1 - tfrac15r)l(1 - tfrac143r) = 860 times tfrac12 times tfrac45 times tfrac4243
Cálculo passo a passo:
;860timestfrac12=430,;;430timestfrac45=344,;;344timestfrac4243=8times 42=336

Passo 4

Para n = 1001, a fatoração é
1001 = 7 cdot 11 cdot 13
Então
phi(1001) = 1001 l(1 - tfrac17r)l(1 - tfrac111r)l(1 - tfrac113r) = 1001 times tfrac67 times tfrac1011 times tfrac1213
Calculando em etapas:
;1001timestfrac67=858,;;858timestfrac1011=780,;;780timestfrac1213=60times12=720

Resposta

phi(200)=80
phi(860)=336
phi(1001)=720

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