Seja a
um inteiro. Se p
é primo, prove que os divisores ímpares primos de
ou são também divisores de a -1 ou são da forma
.
339. Seja
um inteiro. Se
é primo, prove que os divisores primos impares de
ou dividem a +1 ou são da forma
.
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de
, então
e daí
. Logo, as possíveis ordens de
, módulo
, são
ou
.
Vamos supor
. Então
e daí
mas como
, então
, o que não é possível pois
é ímpar. Se
, então igualmente teríamos
, o que contradiz
. No caso
se tem
; daí
, o que implica
ou
, ou seja,
ou
.
Como a primeira possibilidade corresponde a
deve ser descartada, restando
, o que equivale a
.
Finalmente, se
, como
é múltiplo de 2 p , entāo
.
339. Seja
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de
Como a primeira possibilidade corresponde a
Finalmente, se
Passo 1
Vamos usar a noção de ordem multiplicativa. Seja
um primo ímpar divisor de
. Como
, a ordem de
módulo
, que chamaremos de
, satisfaz
e sempre
. Por outro lado,
implica
logo
. Como
é primo, os divisores de
são exatamente
Passo 2
Analisando o caso
.
- Se
, então e logo . - Se
, teríamos , isto é, . Mas daria , contradizendo . Assim, não ocorre. - Se
, então . Como é ímpar, também, e segue , ou seja,
- Se
, da mesma forma , levando a
Passo 3
Analisando o caso
.
- Se
, então e daria , contradizendo . - Se
, teríamos , também contraditório. - Se
, então , logo . Como dá , só resta , ou seja, . - Se
, segue e assim
Resposta
Para
: todo primo ímpar divisor ou divide
ou é da forma
.
Para : todo primo ímpar divisor ou divide
ou é da forma
.
Para