Seja a >1 um inteiro. Se p >2 é primo, prove que os divisores ímpares primos de a^p-1 ou são também divisores de a -1 ou são da forma 2 px+1.
339. Seja a>1 um inteiro. Se p>2 é primo, prove que os divisores primos impares de a^p+1 ou dividem a +1 ou são da forma 2 px+1.
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de a^p+1, então a^p+1 equiv 0(bmod q) e daí a^2 p equiv 1(bmod q). Logo, as possíveis ordens de a, módulo q, são d=1,2, p ou 2 p.
Vamos supor d=1. Então a equiv 1(bmod q) e daí a^p equiv 1(bmod q) ; mas como a^p equiv-1(bmod q), então 1 equiv-1(bmod q), o que não é possível pois q é ímpar. Se d=p, então igualmente teríamos a^p equiv 1(bmod q), o que contradiz a^p equiv-1(bmod q). No caso d=2 se tem a^2 equiv 1(bmod q); daí q mid(a-1)(a+1), o que implica q mid(a-1) ou q mid(a+1), ou seja, a equiv 1(bmod q) ou a equiv-1(bmod q).
Como a primeira possibilidade corresponde a d=1 deve ser descartada, restando a equiv-1(bmod q), o que equivale a q mid(a+1).
Finalmente, se d=2 p, como varphi(q)=q-1 é múltiplo de 2 p , entāo q=1+2 px.

Passo 1

Vamos usar a noção de ordem multiplicativa. Seja q um primo ímpar divisor de a^ppm1. Como gcd(a,q)=1, a ordem de a módulo q, que chamaremos de d, satisfaz
a^d equiv 1 pmod q
e sempre dmidvarphi(q)=q-1. Por outro lado, qmid a^ppm1 implica
a^2pequiv1pmod q,
logo dmid2p. Como p>2 é primo, os divisores de 2p são exatamente
din1,2,p,2p

Passo 2

Analisando o caso qmid a^p-1.
  1. Se d=1, então aequiv1pmod q e logo qmid a-1.
  2. Se d=2, teríamos a^2equiv1pmod q, isto é, aequivpm1pmod q. Mas aequiv-1pmod q daria a^pequiv(-1)^p=-1pmod q, contradizendo a^pequiv1pmod q. Assim, d=2 não ocorre.
  3. Se d=p, então pmid q-1. Como q é ímpar, 2mid q-1 também, e segue 2pmid q-1, ou seja,
q=2p,x+1
  1. Se d=2p, da mesma forma (2p)mid(q-1), levando a
q=2p,x+1

Passo 3

Analisando o caso qmid a^p+1.
  1. Se d=1, então aequiv1pmod q e daria a^pequiv1pmod q, contradizendo a^pequiv-1pmod q.
  2. Se d=p, teríamos a^pequiv1pmod q, também contraditório.
  3. Se d=2, então a^2equiv1pmod q, logo aequivpm1pmod q. Como aequiv1 a^pequiv1, só resta aequiv-1pmod q, ou seja, qmid a+1.
  4. Se d=2p, segue 2pmid(q-1) e assim
q=2p,x+1

Resposta

Para a^p-1: todo primo ímpar divisor ou divide a-1 ou é da forma q=2p,x+1.
Para a^p+1: todo primo ímpar divisor ou divide a+1 ou é da forma q=2p,x+1.

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