Calcule aproximadamente:
(0,997)^20

Passo 1

O enunciado pede para aproximar (0,997)^20.
O conteúdo envolvido é o uso de funções logarítmicas e exponenciais para estimar potências próximas de 1, aproveitando a fórmula
a^b = expl(bln(a)r)

Passo 2

Escrevemos
(0,997)^20 = expl(20ln(0,997)r)
Agora precisamos de uma estimativa para ln(0,997).

Passo 3

Como 0,997 = 1 - 0,003 e y=-0,003 é pequeno, usamos a expansão de Taylor
ln(1+y)approx y - y^22
Aqui y=-0,003, logo
ln(0,997) = ln(1 - 0,003)approx -0,003 - (-0,003)^22 = -0,003 - 0,0000092 = -0,0030045

Passo 4

Multiplicamos por 20:
20ln(0,997)approx 20 times (-0,0030045) = -0,06009

Passo 5

Para calcular exp(-0,06009) usamos a série de Taylor até o termo quadrático:
exp(-a)approx 1 - a + a^22,
com a=0,06009. Isso dá
exp(-0,06009)approx 1 - 0,06009 + (0,06009)^22 = 1 - 0,06009 + 0,001806 approx 0,94172

Resposta

Aproximadamente
(0,997)^20approx 0,942

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