(UF-MT) Seja A uma matriz quadrada, de ordem
, que satisfaz a equação matricial
. Sabendo-se que o determinante de A é um número inteiro positivo, o valor de
, necessariamente, é:
a) Múltiplo de 3 .
c) Primo.
e) Múltiplo de 5 .
b) Ímpar.
d) Par.
a) Múltiplo de 3 .
c) Primo.
e) Múltiplo de 5 .
b) Ímpar.
d) Par.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
que satisfaz
e que
é um número inteiro positivo.
Conteúdo: usaremos polinômio mínimo, valores próprios (autovalores) e a relação entre estes e o determinante.
Conteúdo: usaremos polinômio mínimo, valores próprios (autovalores) e a relação entre estes e o determinante.
Passo 2
A equação matricial pode ser escrita como
Isto mostra que o polinômio mínimo de
divide
. Logo, todos os valores próprios de
estão em
Passo 3
Sejam
as multiplicidades algébricas de
, respectivamente. Então
e
Passo 4
Como
é inteiro positivo, não pode ser zero, logo
(nenhum valor próprio zero) e
Para que
seja inteiro é necessário que
seja inteiro, ou seja,
é par.
Passo 5
Concluímos que
deve ser par.
Resposta
(d) Par.