(UF-MT) Seja A uma matriz quadrada, de ordem n, que satisfaz a equação matricial A^3=3 A. Sabendo-se que o determinante de A é um número inteiro positivo, o valor de n, necessariamente, é:
a) Múltiplo de 3 .
c) Primo.
e) Múltiplo de 5 .
b) Ímpar.
d) Par.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n que satisfaz
A^3 = 3A
e que det(A) é um número inteiro positivo.
Conteúdo: usaremos polinômio mínimo, valores próprios (autovalores) e a relação entre estes e o determinante.

Passo 2

A equação matricial pode ser escrita como
A^3 - 3A = 0 Longrightarrow A,(A^2 - 3I)=0
Isto mostra que o polinômio mínimo de A divide x(x^2-3). Logo, todos os valores próprios de A estão em
0,;raiz3,;-raiz3

Passo 3

Sejam m,k,ell as multiplicidades algébricas de 0,raiz3,-raiz3, respectivamente. Então
m + k + ell = n
e
det(A) = 0^m;(raiz3)^k;(-raiz3)^ell = 0,&se m>0, (-1)^ell,(raiz3)^n,&se m=0

Passo 4

Como det(A) é inteiro positivo, não pode ser zero, logo m=0 (nenhum valor próprio zero) e
det(A)=(-1)^ell,(raiz3)^ninZ>0
Para que (raiz3)^n=3^n/2 seja inteiro é necessário que n/2 seja inteiro, ou seja, n é par.

Passo 5

Concluímos que n deve ser par.

Resposta

(d) Par.

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