[35] Seja
uma matriz
. Quantos menores principais de ordem
de
existem?
Passo 1
O enunciado pede o número de menores principais de ordem
em uma matriz
de tamanho
. Um menor principal de ordem
é o determinante de uma submatriz obtida escolhendo um mesmo subconjunto de
linhas e
colunas de índices idênticos. Para contar quantos desses menores existem, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher
índices dentre os
disponíveis.
Passo 2
Escolher um menor principal de ordem
equivale a escolher um subconjunto
com
. Não importa a ordem dentro de
; só importa quais índices fazem parte do conjunto. A teoria de combinatória nos diz que o número de formas de escolher
elementos de um conjunto de
elementos é dado pelo coeficiente binomial.
Passo 3
O coeficiente binomial que conta o número de subconjuntos de tamanho
em um conjunto de tamanho
é
Logo, existem
maneiras de escolher os índices para o menor principal de ordem
.
Resposta
O número de menores principais de ordem
em uma matriz
é