[35] Seja A uma matriz n times n. Quantos menores principais de ordem k <= n de A existem?

Passo 1

O enunciado pede o número de menores principais de ordem k em uma matriz A de tamanho ntimes n. Um menor principal de ordem k é o determinante de uma submatriz obtida escolhendo um mesmo subconjunto de k linhas e k colunas de índices idênticos. Para contar quantos desses menores existem, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher k índices dentre os n disponíveis.

Passo 2

Escolher um menor principal de ordem k equivale a escolher um subconjunto Isubset1,2,dots,n com lvert Irvert=k. Não importa a ordem dentro de I; só importa quais índices fazem parte do conjunto. A teoria de combinatória nos diz que o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n elementos é dado pelo coeficiente binomial.

Passo 3

O coeficiente binomial que conta o número de subconjuntos de tamanho k em um conjunto de tamanho n é
binomnk =n!k!,(n-k)!
Logo, existem binomnk maneiras de escolher os índices para o menor principal de ordem k.

Resposta

O número de menores principais de ordem k em uma matriz ntimes n é
boxedbinomnk

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