[33] No teorema de classificação de formas quadráticas via menores principais (teorema (11.8)) é fundamental que a matriz A seja simétrica! Para você se convencer deste fato, dê um exemplo de uma matriz quadrada A indefinida com todos os menores principais líderes maiores do que zero.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz quadrada A que não seja simétrica, cuja forma quadrática
f(x)=x^TAx
seja indefinida (isto é, toma valores positivos e negativos), mas que todos os menores principais líderes de A sejam maiores do que zero. Vamos trabalhar com uma matriz 2times2, pois aí os únicos menores principais líderes são De<a1=a11 e De<a2=det(A).

Passo 2

Escolhemos
A = 1 & 3 0 & 1
Note que A não é simétrica porque a12=3neq0=a21.

Passo 3

Calculamos os menores principais líderes:
De<a1=a11=1>0,
De<a2=det(A)=1cdot1-3cdot0=1>0
Logo, ambos são positivos.

Passo 4

Escrevemos a forma quadrática associada:
f(x1,x2) = x^TAx = a11x1^2+(a12+a21)x1x2+a22x2^2 = x1^2+3,x1x2+x2^2
Para verificar indefinitude, calculamos o discriminante da forma em (x1,x2):
De<aforma =l(tfraca12+a212r)^2-a11a22 =l(tfrac32r)^2-1cdot1 =2,25-1=1,25>0
Como De<aforma>0, a forma quadrática é indefinida.

Resposta

Um exemplo é
A=1&30&1,
que não é simétrica, tem De<a1=1>0, De<a2=1>0 e a forma x^TAx é indefinida.

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