Seja
uma placa delgada de massa
e
e
duas rectas paralelas situadas no plano de
, das quais
passa pelo centro de massa de
. Demonstrar o teorema dos eixos paralelos:
onde
é a distância entre as duas rectas
e
.
Passo 1
O enunciado fala de uma lâmina delgada de massa total
e de dois eixos paralelos
e
no seu próprio plano, sendo que
passa pelo centro de massa da lâmina e
está a uma distância
de
. Queremos mostrar o teorema dos eixos paralelos, ou seja,
onde
e
são os momentos de inércia da placa em relação a
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar a definição de momento de inércia de uma distribuição contínua de massa e as propriedades do centro de massa.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas
no plano da lâmina de modo que o eixo
coincida com a reta
e o centro de massa fique na origem
. Seja um elemento de massa infinitesimal
localizado em
.
Pela definição, o momento de inércia em torno de é
Pela definição, o momento de inércia em torno de
Passo 3
O eixo
é paralelo a
e está na reta
. Logo, a distância do ponto
até
é
. Assim o momento de inércia em relação a
vale
Passo 4
Expandindo o quadrado dentro da integral, obtemos
Logo,
Passo 5
Sabemos que, por termos colocado a origem no centro de massa,
e também
Portanto