Seja S uma placa delgada de massa dotm e L0 e L duas rectas paralelas situadas no plano de S, das quais L0 passa pelo centro de massa de S. Demonstrar o teorema dos eixos paralelos:
IL=IL0+m h^2
onde h é a distância entre as duas rectas L e L0.

Passo 1

O enunciado fala de uma lâmina delgada de massa total m e de dois eixos paralelos L0 e L no seu próprio plano, sendo que L0 passa pelo centro de massa da lâmina e L está a uma distância h de L0. Queremos mostrar o teorema dos eixos paralelos, ou seja,
IL ;=; IL0 ;+; m,h^2,
onde IL e IL0 são os momentos de inércia da placa em relação a L e L0, respectivamente. Para isso, vamos usar a definição de momento de inércia de uma distribuição contínua de massa e as propriedades do centro de massa.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) no plano da lâmina de modo que o eixo L0 coincida com a reta x=0 e o centro de massa fique na origem (0,0). Seja um elemento de massa infinitesimal dm localizado em (x,y).
Pela definição, o momento de inércia em torno de L0 é
IL0 ;=; integralS (distância de (x,y) a L0)^2;dm ;=; integralS x^2,dm â

Passo 3

O eixo L é paralelo a L0 e está na reta x=h. Logo, a distância do ponto (x,y) até L é |x - h|. Assim o momento de inércia em relação a L vale
IL =integralS(x - h)^2,dm

Passo 4

Expandindo o quadrado dentro da integral, obtemos
(x-h)^2 ;=; x^2 ;-;2,x,h ;+;h^2
Logo,
IL =integralSx^2,dm ;-;2,hintegralSx,dm ;+;h^2integralS1,dm

Passo 5

Sabemos que, por termos colocado a origem no centro de massa,
integralSx,dm ;=; 0,
e também
integralS1,dm ;=; m
Portanto
IL = integralSx^2,dm + h^2,m = IL0 + m,h^2

Resposta

IL=IL0+m,h^2

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