Seja N=3^x times 5^y times 7^z. Determine N , tal que 5 N e 27 N tenham 8 e 18 divisores, respectivamente, a mais que N .

Passo 1

O enunciado pede um inteiro
N = 3^x,5^y,7^z
de modo que ao multiplicar por 5 o número de divisores aumenta em 8, e ao multiplicar por 27 (ou seja, 3^3) o número de divisores aumenta em 18. Vamos usar a fórmula do número de divisores: se
N = prod pi^ai,
então
d(N) = prod (ai+1)

Passo 2

Escrevendo d(N), d(5N) e d(27N) em função de (x,y,z):
d(N) = (x+1),(y+1),(z+1),
d(5N) = (x+1),(y+2),(z+1),
d(27N) = (x+4),(y+1),(z+1)
Pelas condições do enunciado:
d(5N) = d(N) + 8, d(27N) = d(N) + 18

Passo 3

Subtraindo d(N) de d(5N):
(x+1)(y+2)(z+1) - (x+1)(y+1)(z+1) = 8 ;Longrightarrow; (x+1)(z+1) = 8

Passo 4

Subtraindo d(N) de d(27N):
(x+4)(y+1)(z+1) - (x+1)(y+1)(z+1) = 18 ;Longrightarrow; 3,(y+1)(z+1) = 18 ;Longrightarrow; (y+1)(z+1) = 6

Passo 5

Denote A = z+1. As equações ficam
(x+1),A = 8, (y+1),A = 6,
com A dividindo simultaneamente 8 e 6. Logo Ain1,2.
  • Se A=1 então z=0, x+1=8implies x=7, y+1=6implies y=5.
  • Se A=2 então z=1, x+1=4implies x=3, y+1=3implies y=2.

Resposta

As soluções são
N = 3^7 ,5^5 ou N = 3^3,5^2,7

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