(UF-MT) Seja T um triângulo equilátero e
um ponto no interior de
. Se
e
são as medidas das distâncias de
aos lados de T, então
é igual à medida:
a) do perímetro de
.
b) do lado de
.
c) do diâmetro do círculo inscrito em T .
d) da altura de
.
e) do diâmetro do círculo circunscrito a
.
a) do perímetro de
b) do lado de
c) do diâmetro do círculo inscrito em T .
d) da altura de
e) do diâmetro do círculo circunscrito a
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo equilátero
de lado
e altura
, e de um ponto
no seu interior cujas distâncias aos lados são
. Queremos mostrar que
é igual à altura de
.
Passo 2
Calcular a área de
de duas formas conhecidas. Primeiro, pela base e altura:
E, como
é equilátero, sua altura vale
Passo 3
Agora dividimos
em três triângulos com vértice em
e bases nos lados de comprimento
. Cada um desses triângulos tem área
logo a soma das três áreas é
Passo 4
Como essas duas expressões representam a mesma área de
, temos
Cancelando
em ambos os lados, vem
Passo 5
Concluímos que a soma das distâncias de
aos lados de
é exatamente a altura de
.
Resposta
d) da altura de
.