(UF-MT) Seja T um triângulo equilátero e P um ponto no interior de T. Se d1, d2 e d3 são as medidas das distâncias de P aos lados de T, então d1+d2+d3 é igual à medida:
a) do perímetro de T.
b) do lado de T.
c) do diâmetro do círculo inscrito em T .
d) da altura de T.
e) do diâmetro do círculo circunscrito a T.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo equilátero T de lado L e altura h, e de um ponto P no seu interior cujas distâncias aos lados são d1,d2,d3. Queremos mostrar que
d1+d2+d3
é igual à altura de T.

Passo 2

Calcular a área de T de duas formas conhecidas. Primeiro, pela base e altura:
Área(T)=L,h2 Á
E, como T é equilátero, sua altura vale
h=Lraiz32

Passo 3

Agora dividimos T em três triângulos com vértice em P e bases nos lados de comprimento L. Cada um desses triângulos tem área
L,di2,
logo a soma das três áreas é
sumi=1^3L,di2 =L2,(d1+d2+d3)

Passo 4

Como essas duas expressões representam a mesma área de T, temos
L,h2 = L2,(d1+d2+d3)
Cancelando tfracL2 em ambos os lados, vem
h = d1+d2+d3

Passo 5

Concluímos que a soma das distâncias de P aos lados de T é exatamente a altura de T.

Resposta

d) da altura de T.

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