Seja um triedro de vértice V, cujos ângulos das faces medem cada um. Considere os segmentos sobre suas arestas. Determine o comprimento do segmento AP, sendo P o pé da perpendicular à face oposta à aresta VA.
Passo 1
O enunciado descreve um triedro de vértice V com os três ângulos formados pelas arestas iguais a 60^circ, e sobre cada aresta partindo de V escolhemos pontos A, B e C de modo que VA=VB=VC=9,cm.
Pede-se o comprimento de AP, onde P é o pé da perpendicular de A sobre o plano da face oposta à aresta VA, ou seja, sobre o triângulo VBC.
Conteúdo necessário: lei dos cossenos para achar lados do triângulo VBC e fórmula da altura de um tetraedro regular.
Passo 2
Calcular o comprimento de BC no triângulo VBC usando a lei dos cossenos:
BC^2 = VB^2 + VC^2 - 2,VB,VCcos60^circ
BC^2 = 9^2 + 9^2 - 2cdot9cdot9cdottfrac12 = 81
Logo,
BC = 9
Passo 3
Como as mesmas contas valem para os outros dois pares de vértices, concluímos que
AB = AC = BC = 9,
isto é, todos os seis arestas do tetraedro VABC medem 9. Portanto trata-se de um tetraedro regular de aresta a=9.
Passo 4
Num tetraedro regular de aresta a, a distância h de um vértice ao plano da face oposta (altura) é
h = raiztfrac23,a = tfracraiz63,a
Aqui a=9, logo
AP = h = 9raiztfrac23 = 3raiz6
Resposta
O comprimento de AP é 3raiz6,cm.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 166