Seja
um vetor não-nulo e sejam
e
dois vetores tais que
. É legítimo cancelar
de ambos os membros dessa equação e concluir que
? Explique.
Passo 1
O enunciado diz que temos um vetor não-nulo
e dois vetores
e
tais que
A pergunta é se, a partir disso, podemos “cancelar”
e concluir que
. O conteúdo aqui é a propriedade de bilinearidade e de não-injetividade do produto escalar.
Passo 2
Reescrevendo a igualdade de produto escalar, temos
Isto mostra que
é um vetor ortogonal a
.
Passo 3
Do fato
só concluímos que
está no subespaço ortogonal a
. Em geral, um vetor não-nulo pode ter projeções iguais num dado eixo (ou direção) e diferir justamente na parte ortogonal.
Passo 4
Para ver concretamente que não se pode “cancelar”
, basta um contraexemplo em
. Seja
Então
logo
, mas claramente
.
Resposta
Não. A igualdade
implica apenas que
é ortogonal a
, não que
. Em outras palavras, o produto escalar não é injetivo no segundo fator, então não podemos cancelar
.