Seja A um vetor não-nulo e sejam B e C dois vetores tais que A cdot B=A cdot C. É legítimo cancelar A de ambos os membros dessa equação e concluir que B=C ? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor não-nulo A e dois vetores B e C tais que
AcdotB ;=;AcdotC
A pergunta é se, a partir disso, podemos “cancelar” A e concluir que B=C. O conteúdo aqui é a propriedade de bilinearidade e de não-injetividade do produto escalar.

Passo 2

Reescrevendo a igualdade de produto escalar, temos
AcdotB ;-;AcdotC ;=;0 Longrightarrow Acdot(B-C) ;=;0
Isto mostra que B-C é um vetor ortogonal a A.

Passo 3

Do fato Acdot(B-C)=0 só concluímos que B-C está no subespaço ortogonal a A. Em geral, um vetor não-nulo pode ter projeções iguais num dado eixo (ou direção) e diferir justamente na parte ortogonal.

Passo 4

Para ver concretamente que não se pode “cancelar” A, basta um contraexemplo em R^2. Seja
A=(1,0), B=(0,1), C=(0,2)
Então
AcdotB =1cdot0+0cdot1=0, AcdotC =1cdot0+0cdot2=0,
logo AcdotB=AcdotC, mas claramente BneqC.

Resposta

Não. A igualdade AcdotB=AcdotC implica apenas que B-C é ortogonal a A, não que B-C=0. Em outras palavras, o produto escalar não é injetivo no segundo fator, então não podemos cancelar A.

Exercícios de Livros Relacionados