Use produtos escalares para mostrar que os três pontos dados são os vértices de um triângulo retângulo. Qual o vértice do ângulo reto?
P=(2,7,-2), Q=(0,4,-1), R=(1,4,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os pontos P=(2,7,-2), Q=(0,4,-1) e R=(1,4,1) formam um triângulo retângulo, usando produto escalar. O conteúdo que vamos aplicar é: duas retas (ou segmentos) são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar dos vetores diretores é zero. Para cada vértice do triângulo, calculamos os dois vetores que saem dele e verificamos se seu produto escalar é nulo.

Passo 2

Analisando o vértice em P, construímos os vetores\r
PQ=Q-P=(0-2,;4-7,;-1-(-2))=(-2,,-3,,1)
PR=R-P=(1-2,;4-7,;1-(-2))=(-1,,-3,,3) \r
O produto escalar é\r
PQcdotPR =(-2)(-1)+(-3)(-3)+1cdot3 =2+9+3=14neq0, \r
logo os segmentos PQ e PR não são perpendiculares em P.

Passo 3

Agora, no vértice em Q, tomamos\r
QP=P-Q=(2-0,;7-4,;-2-(-1))=(2,,3,,-1)
QR=R-Q=(1-0,;4-4,;1-(-1))=(1,,0,,2) \r
O produto escalar vale\r
QPcdotQR =2cdot1+3cdot0+(-1)cdot2 =2+0-2=0, \r
portanto QPperp QR e o ângulo em Q é reto.

Passo 4

Como encontramos um produto escalar nulo em Q, concluímos que o triângulo PQR é retângulo e o ângulo reto está situado em Q.

Resposta

O triângulo é retângulo em Q.

Exercícios de Livros Relacionados