Dada a função f: R R, bijetora, definida por f(x)=x^3+1, determine sua inversa f^-1: R R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de
fcolon RtoR, f(x)=x^3+1
O conteúdo é “inversão de funções bijetoras”: vamos verificar que f é bijetora e depois resolver a equação y=x^3+1 para x.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente em R, logo injetora, e como limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty, é sobrejetora. Assim, f é bijetora e tem inversa.

Passo 3

Para achar f^-1, escrevemos
y = x^3 + 1
e isolamos x:
y - 1 = x^3 Longrightarrow x = raiz[3],y-1,
Portanto, a inversa é
f^-1(y)=raiz[3],y-1,

Resposta

f^-1(x)=raiz[3],x-1,

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