Sejam os inteiros a=underbrace111 ldots 11 m 1's e b=underbrace0000 ldots 005m-1 1's . Prove que ab+1 é um quadrado perfeito. Expresse a raiz quadrada de ab +1 da mesma forma como a e b foram expressos.

Passo 1

O enunciado define
a=underbrace111ldots1m dígitos 1 í
e um inteiro b de forma que queremos provar que
ab+1
é um quadrado perfeito. O conteúdo é uma simples fatoração em álgebra elementar: vamos identificar b em função de a e mostrar que
ab+1=(a-1)^2

Passo 2

Note que se a=underbrace111ldots1m, então
a-2=underbrace111ldots1m-2
é justamente o inteiro b dado no enunciado (repare que subtrair 2 de 111ldots1 faz o último dígito passar de 1 para 9, emprestando 1 do dígito anterior). Logo
b = a-2

Passo 3

Substituindo b=a-2 em ab+1 obtemos
ab+1 = a,(a-2)+1 = a^2-2a+1 = (a-1)^2
Isto mostra que ab+1 é de fato um quadrado perfeito.

Passo 4

Só resta expressar a raiz quadrada raizab+1 no mesmo formato decimal de a e b. Como
raizab+1=a-1,
e a=underbrace111ldots1m, temos
a-1=underbrace111ldots1m-1=underbrace111ldots110m dígitos, í
isto é, m-1 dígitos 1 seguidos de um dígito 0.

Resposta

raizab+1 ;=;underbrace111ldots110m dígitos, í
Em outras palavras, ab+1=(a-1)^2 e a raiz é o inteiro com m-1 uns seguido de um zero.

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