Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilátero convexo com área A . Prove que:
a) \mathrm{A} \leq(\mathrm{ab}+\mathrm{cd}) / 2;
b) \mathrm{A} \leq(\mathrm{ac}+\mathrm{bd}) / 2;
c) A \leq(a+c)(b+d) / 4.

Passo 1

Vamos nomear o quadrilátero convexo como ABCD com lados
AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DA=d
e área A. Precisamos provar:
a) \displaystyle A\le\frac{ab+cd}2
b) \displaystyle A\le\frac{ac+bd}2
c) \displaystyle A\le\frac{(a+c)(b+d)}4.

Passo 2

Para (a), trace a diagonal AC. Seja \theta=\angle ABC; então \angle ADC=\pi-\theta. A área do quadrilátero é soma das áreas dos triângulos ABC e ADC:
A=\frac12\,AB\cdot BC\sin\theta\;+\;\frac12\,CD\cdot DA\sin(\pi-\theta) =\frac12\,(ab+cd)\sin\theta.
Como \sin\theta\le1, segue
A\le\frac{ab+cd}2.

Passo 3

Para (b), use a fórmula da área em função das diagonais. Se \varphi é o ângulo entre AC e BD, então
A=\frac12\,AC\cdot BD\sin\varphi\le\frac12\,AC\cdot BD.
Pela desigualdade de Ptolemy para quadrilátero convexo ABCD vale
AC\cdot BD\le AB\cdot CD+BC\cdot DA=ac+bd.
Logo
A\le\frac{ac+bd}2.

Passo 4

Aplicando o mesmo argumento de (a) mas trocando os papéis de b e d (i.e.\ renumerando os vértices para que as arestas adjacentes sejam a,d e c,b), obtemos
A \le \frac{ad+bc}{2}.

Passo 5

Some as desigualdades de (a) na forma original e a da etapa anterior:
A\le\frac{ab+cd}2, \quad A\le\frac{ad+bc}2 \quad\Longrightarrow\quad 2A\le\frac{ab+cd+ad+bc}2 =\frac{(a+c)(b+d)}2.
Assim
A\le\frac{(a+c)(b+d)}4.

Resposta

a) \displaystyle A\le\frac{ab+cd}2
b) \displaystyle A\le\frac{ac+bd}2
c) \displaystyle A\le\frac{(a+c)(b+d)}4

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