Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilátero convexo com área A . Prove que:
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos nomear o quadrilátero convexo como
com lados
e área
. Precisamos provar:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Passo 2
Para (a), trace a diagonal
. Seja
; então
. A área do quadrilátero é soma das áreas dos triângulos
e
:
Como
, segue
Passo 3
Para (b), use a fórmula da área em função das diagonais. Se
é o ângulo entre
e
, então
Pela desigualdade de Ptolemy para quadrilátero convexo
vale
Logo
Passo 4
Aplicando o mesmo argumento de (a) mas trocando os papéis de
e
(i.e.\ renumerando os vértices para que as arestas adjacentes sejam
e
), obtemos
Passo 5
Some as desigualdades de (a) na forma original e a da etapa anterior:
Assim
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)