Se um triângulo isósceles \triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}) está inscrito em um círculo e um ponto P é marcado sobre o menor arco BC, prove, usando o Teorema de Ptolomeu, que \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PB}+\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC isósceles com AB=AC inscrito em um círculo e um ponto P sobre o menor arco BC. Queremos mostrar que
\frac{PA}{PB+PC} \;=\;\frac{AC}{BC}
e para isso vamos usar o Teorema de Ptolomeu aplicado ao quadrilátero cíclico ABPC.

Passo 2

Como A, B, P e C pertencem ao mesmo círculo, o quadrilátero ABPC é cíclico. Essa é a hipótese que nos permite aplicar o Teorema de Ptolomeu.

Passo 3

Pelo Teorema de Ptolomeu em ABPC (com ordem dos vértices A\to B\to P\to C) vale
AB\cdot PC \;+\; BP\cdot AC \;=\; BC\cdot PA.

Passo 4

Como AB=AC, substituímos e fatoramos:
AC\cdot PC + AC\cdot BP = BC\cdot PA \quad\Longrightarrow\quad AC\,(PC+BP)=BC\cdot PA.
Dividindo ambos os lados por BC\,(PB+PC) obtemos
\frac{PA}{PB+PC} \;=\;\frac{AC}{BC}.

Resposta

\displaystyle \frac{PA}{PB+PC} = \frac{AC}{BC}.

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