Mostre que 10^3 k equiv 1(bmod 1001) se k é um número natural par e que 10^3 k equiv-1(bmod 1001) se k é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo usado será aritmética modular, fatoração de inteiros e o Teorema Chinês dos Restos.

Passo 2

Primeiro fatoramos 1001. Observamos que
1001 = 7 times 11 times 13,
e esses fatores são coprimos dois a dois.

Passo 3

Calculamos agora 10^3 em cada módulo:
10^3 = 1000
  • Módulo 7: ;1000div7 deixa resto 1000-7cdot142=1000-994=6, ou seja 6equiv-1pmod7.
  • Módulo 11: ;1000div11 deixa resto 1000-11cdot90=1000-990=10, que é -1pmod11.
  • Módulo 13: ;1000div13 deixa resto 1000-13cdot76=1000-988=12, ou seja 12equiv-1pmod13.

Passo 4

Como 10^3equiv-1 em cada um de 7, 11 e 13, pelo Teorema Chinês dos Restos temos
10^3equiv-1pmod1001

Passo 5

Para um inteiro k,
10^3k = l(10^3r)^k equiv (-1)^k pmod1001
Se k é par, (-1)^k=1. Se k é ímpar, (-1)^k=-1.

Resposta

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